Multi-scale methods for calculation and optimization of thin structures
Approches multi-échelles pour le calcul et l’optimisation de plaques hétérogènes
Résumé
Advances in engineering make composite plates an interesting material for industrial applications. From a modeling viewpoint, these are materials occupying a three-dimensional domain which is very thin in the third direction. Their behavior is typically modelled by elliptic partial differential equations (say, linear elasticity) with coefficients that are highly oscillatory in the in-plane directions. There are hence two small scales in the problem, the thickness of the plate and the characteristic size of the heterogeneities in the in-plane directions. Numerical difficulties arise because of the different length scales involved, which lead to prohibitive computational costs if standard (say Finite Element) approaches are used.In order to understand the behavior of such materials, a first step is to look at the homogenized limit, assuming the microstructure is periodic. This derivation has been performed both in the diffusion and in the elasticity case. In this work, we go beyond these results and establish more precise results which characterize the local spatial fluctuations of the displacement.From a numerical perspective, the MultiScale Finite Element Method (MsFEM) has been introduced some years ago to address such problems. It is a Finite Element type approach, where the basis functions used to generate the approximation space are precomputed. In this work we adapt this method to the case of thin plates.We introduce several MsFEM variants for elastic composite plates and numerically compare their performance on a variety of test cases.In the third part of our work, we use the MsFEM and techniques of reduced model to design an algorithm of shape optimization for thin plates. The shape optimization is performed by modulating locally the size of the heterogeneities in the in-plane direction. The method is tested on numerical examples.
Les plaques composites sont des objects de grand intérêt pour l'ingénierie moderne. Ces objets sont modélisés comme des matériaux en trois dimensions étant fins dans la troisième dimension. Leur comportement mécanique est modélisé par une équation aux dérivées partielles (ici, l'élasticité linéaire) dont les coefficients oscillent avec une grande fréquence dans les deux premières directions. Le problème a donc deux petites échelles: la dimension de la plaque, et la période des oscillations. Ces deux petites échelles engendrent des difficultés d'ordre numérique: en effet, utiliser une méthode standard (des éléments finis par exemple) occasionnerait des coûts de calcul prohibitifs.Pour comprendre le comportement de ce type de matériaux, nous commençons pas nous intéresser à la limite homogénéisée en faisant l'hypothèse d'une microstructure périodique. Le modèle homogénéisé a déjà été établi dans les cas de la diffusion et de l'élasticité. Dans cette thèse, nous établissons un résultat plus précis qui prend en compte les fluctuations locales du déplacement.La Méthode des Éléments Finis Multi-échelle (MsFEM) a été introduite pour résoudre numériquement ce type de problème. C'est une méthode de type "éléments finis", où la base de fonctions utilisée pour engendrer l'espace d'approximation est calculées à l'avance. Dans cette thèse, nous adaptons cette méthode au cas des plaques minces. Nous introduisons plusieurs variantes de la MsFEM pour les plaques composites et les comparons numériquement.Dans une dernière partie, nous utilisons la MsFEM et des techniques de réductions de modèle pour développer une technique d'optimisation de forme pour les plaques. La forme des plaques hétérogène est optimisée en modulant localement la taille des hétérogénéités de la plaque. Ces méthodes sont testées sur des exemples numériques.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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