Some contributions to multifractal analysis in the theory of continued fractions and the Fourier transform of measures
Quelques contributions à l'analyse multifractale en théorie des fractions continues et à la transformée de Fourier des mesures
Résumé
In this thesis, we are concerned with the Hausdorff dimension of sets of points with prescribed growth rate of partial quotients in continued fractions, and the decay rate of the Fourier transform of a class of probability measures.In the first part, we consider the real numbers whose partial quotients of the continued fractions are non-decreasing. The convergence exponent of such a number is defined as the convergence exponent of its sequence of partial quotients. We do multifractal analysis of the convergence exponents of these real numbers. The multifractal spectrum, which is a function to each level associated the Hausdorff dimension of the level set of convergence exponents, has been determined. It turns out that the spectrum is not differentiable at the level of exponent DOLLAR1DOLLAR. Thus an unusual phase transition of such spectrum appears. Meanwhile, as a complement of a result of Wang and Wu, we obtain the Hausdorff dimensions of some level sets related to the exceptional sets of Borel-Bernstein Theorem in continued fractions.In the second part, we focus on the infinite convolution on DOLLAR[0,1]DOLLAR defined by[mu=ast_{n=1}^{infty}left(frac{1}{2}(1+phi(n))delta_0+frac{1}{2}(1-phi(n))delta_{2^{-n}}right),]where DOLLARdelta_{x}DOLLAR is Dirac measure and DOLLARphiDOLLAR is a weight function defined on DOLLARmathbb{N}DOLLAR taking values in DOLLAR(0,1)DOLLAR. For any given weight function DOLLARphi(n)DOLLAR, we obtain the explicit pointwise rate of decay of the Fourier transform of the measure DOLLARmuDOLLAR. Our result generalizes a classical result of Hartman and Kershner. Using the methods of Cassels and Schmidt and applying the Davenport-ErdH{o}s-Leveque Theorem, we prove that almost all real numbers are absolutely normal with respect to DOLLARmuDOLLAR. As an application, we provide some new examples of measures whose rates of decay of their Fourier transform could be very slow, yet almost all real numbers are absolutely normal, which complements a result of Lyons on the set of non-normal numbers.
Dans cette thèse on s'intéresse à la dimension de Hausdorff des points donc le taux de croissance des quotients partiels en fractions continues est prescrit, et au taux de décroissance pour la transformée de Fourier d'une classe de mesures de probabilité. Dans la première partie, on s'intéresse aux nombres réels dont les quotients partiels des fractions continues sont croissants. L'exposant de convergence d'un tel nombre est défini par l'exposant de convergence de sa suite de quotients partiels. On cherche à réaliser l'analyse multifractale de cet exposant de convergence. Ce spectre multifractal, qui à un certain DOLLARhinmathbb{R}DOLLAR associe la dimension de Hausdorff des points d'exposant de convergence DOLLARhDOLLAR, a été calculé. Il résulte de cette '{e}tude que le spectre multifractal n'est pas différentiable au point DOLLARh=1DOLLAR. En conséquence, on observe une transition de phase dans le spectre. D'autre part, en complément d'un résultat de Wang et Wu, on obtient les dimensions de Hausdorff de certains ensembles de niveaux associés aux ensembles exceptionnels issus du théorème de Borel-Bernstein sur les fractions continues. La seconde partie traite la convolution infinie de mesures sur DOLLAR[0,1]DOLLAR définie par[mu=ast_{n=1}^{infty}left(frac{1}{2}(1+phi(n))delta_0+frac{1}{2}(1-phi(n))delta_{2^{-n}}right),]où DOLLARdelta_{x}DOLLAR désigne la mesure de Dirac au point DOLLARxDOLLAR et DOLLARphiDOLLAR est une fonction de poid définie sur DOLLARmathbb{N}DOLLAR et à valeurs dans DOLLAR(0,1)DOLLAR. Pour toute fonction de poid DOLLARphiDOLLAR, on obtient explicitement le taux de décroissance ponctuel de la transformée de Fourier de la mesure DOLLARmuDOLLAR. Notre résultat généralise un résultat classique de Hartman et Kershner. En utilisant la méthode de Cassels et Schmidt et en appliquant le Théorème de Davenport-ErdH{o}s-Leveque, on prouve que DOLLARmuDOLLAR-presque tout nombre réel est absolument normal. En application, on fournit de nouveaux exemples de mesures dont le taux de décroissance de la transformée de Fourier peut être très lent, et pour laquelle presque tout nombre est absolument normal, ce qui complète un résultat de Lyons concernant l'ensemble des nombres non normaux.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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