Qualitative properties of solutions to some semilinear and quasilinear elliptic PDEs
Régularité et propriétés qualitatives des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques semilinéaires et quasilinéaires
Résumé
In this manuscript we study qualitative properties of solutions of some semilinear and quasilinear elliptic equations. Symmetry and monotonicity remain an important topic in modern theory of nonlinear partial di↵erential equations. The moving planes method is the most important technique that have been used in recent years to establish some qualitative properties of positive solutions of nonlinear elliptic equations as symmetry and monotonicity; in particular, it goes back to the seminal papers of A. D. Alexandrov [1] and J. Serrin [111]. In this technique maximum and comparison principles play a crucial role. Lots of well-known results about classical and more recent version of maximum and comparison principles and of the Höpf's Lemma will be presented in Chapter 1. In Chapter 2 (see also [24]), we consider positive solutions to semilinear elliptic problems with singular nonlinearity and we provide a Höpf type boundary lemma via a suitable scaling argument that allows to deal with the lack of regularity of the solutions up to the boundary. In Chapter 3 (see also [52]), we consider the quasilinear version of the problem studied in Chapter 2, that is more involved and technical. In Chapter 4 (see also [50]), we consider positive singular solutions to semilinear elliptic problems with possibly singular nonlinearity and we deduce symmetry and monotonicity properties of the solutions via the moving planes procedure in bounded or unbounded domains. In Chapter 5 (see also [51]), we consider singular solutions to quasilinear elliptic equations under zero Dirichlet boundary condition. Under suitable assumptions on the nonlinearity we deduce symmetry and monotonicity properties of positive solutions via an improved moving planes procedure, only in bounded domains. In Chapter 6 (see also [48]), we investigate qualitative properties of positive singular solutions of some elliptic systems in bounded and unbounded domains, i.e. we prove a generalization of the results obtained in Chapter 4. In Chapter 7 (see also [49]), we prove the validity of Gibbons' conjecture for a quasilinear elliptic equation. The result holds for every (2N + 2)/(N + 2) < p < 2 and for a very general class of nonlinearity f.
La thèse est consacrée à l'étude des propriétés qualitatives des solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) semi- linéaires et quasilinéaires de type elliptique. La méthode des hyperplans mobiles de A.D. Alexandrov et J.B. Serrin est le plus important des outils utilisées pour étudier les propriétés qualitatives des solutions d'EDP non-linéaires comme la symétrie et la monotonie. Le chapitre 1 porte sur les principes du maximum, les principes de comparaison et le lemme de Hopf qui jouent un rôle crucial dans la méthode des hyperplans mobiles. L'état de l’art dans le cadre semilinéaire et quasilinéaire y est présenté. Dans le chapitre 2 on considère les solutions positives d'EDP elliptiques semilinéaires faisant intervenir une nonlinéarité singulière. Dans ce contexte, à l'aide d'un argument de "scaling", on démontre un nouveau lemme de Hopf qui permet de contourner la perte de régularité des solutions près du bord. Le chapitre 3 concerne la version quasilinéaire du problème étudié dans le chapitre 2. Après avoir obtenu un lemme de Hopf pour ce type d'équations, nous démontrons la symétrie et la monotonie des solutions positives dans le demi-espace et dans les domaines bornés et convexe. Dans le chapitre 4, à l'aide de la méthode des hyperplans mobiles, nous démontrons la symétrie et la monotonie des solutions positives et singulières d'EDP semilinéaires (éventuellement singulières) dans des domaines bornés et non-bornés. Le cas quasilinéaire, qui est beaucoup plus délicat et technique, est traité dans le chapitre 5. Le chapitre 6 est consacré aux propriétés qualitatives des solutions positives singulières de systèmes elliptiques. On montre que les résultats obtenus au chapitre 4 sont encore vrais dans ce contexte. Dans le dernier chapitre (chapitre 7) nous démontrons la conjecture de Gibbons pour les solutions entières des EDP quasilinéaires singulières
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