Circular representations of infinite proofs for fixed-points logics : expressiveness and complexity - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

Circular representations of infinite proofs for fixed-points logics : expressiveness and complexity

Représentations circulaires de preuves infinies pour les logiques à points fixes : expressivité et complexité.

Résumé

In the context of logics with least and greatest fixed points, circular, i.¿e. non wellfounded but regular proofs have been proposed as an alternative to induction and coinduction with explicit invariants. Those circular proofs have received increasing interest in recent years with the simultaneous development of their applications and metatheory: infinitary proof theory is now well-established in several proof-theoretical frameworks such as Martin-Löf's inductive predicates, linear logic with fixed points, etc. In the setting of non wellfounded proofs, in order to recover logical consistency, it is necessary to consider a validity criterion which differentiates, among all infinite or circular derivation trees, a.¿k.¿a. preproofs, those which are logically valid proofs. A standard approach is to consider a preproof to be valid if every infinite branch is supported by an infinitely progressing thread. This thesis focuses on circular proofs for MALL with fixed points. It is known that given a finite circular representation of a non-wellfounded preproof, one can decide in PSPACE whether this preproof is valid with respect to the thread criterion. The first contribution of this thesis is to prove that the problem of deciding thread-validity for μMALLω is in fact PSPACE-complete. Our proof is based on a deeper exploration of the connection between thread-validity and the size-change termination principle, which is usually used to ensure program termination. The second contribution of this thesis is to describe a new fragment of all valid circular representations of preproofs, based on a stronger validity criterion. This new criterion is based on a labelling of formulas and proofs, whose validity is purely local. This allows this fragment to be easily handled, while being expressive enough to still contain all circular embeddings of Baelde's μMALL finite proofs with inductive and coinductive invariants. In particular, deciding validity and computing a certifying labeling can be done efficiently. Moreover, and this is the third contribution of this thesis, the Brotherston-Simpson conjecture holds for this fragment: every labelled representation of a circular proof in the fragment is translated into a standard finitary proof. Finally, we explore how to extend these results to a bigger fragment, by relaxing the labelling discipline while retaining (1) the ability to locally certify the validity and (2) to some extent, the ability to finitize circular proofs.
Dans le cadre des logiques adaptées aux plus petits et plus grands points fixes de formules, les preuves circulaires ont été proposées comme alternative aux principes d'induction et coinduction à invariants explicites. Ces preuves circulaires ont reçu un intérêt grandissant ces dernières années avec le développement simultané de leurs applications et de leur méta-théorie. Les preuves infinies sont maintenant bien implantées dans plusieurs sujets de la théorie de la démonstration tels que les prédicats inductifs à la Martin-Löf, la logique linéaire étendue avec des points fixes, etc. Dans le cadre des preuves circulaires ou infinies, non bien-fondées, un critère de validité est nécessaire pour rétablir la cohérence logique. Ce critère sert à distinguer, parmi l'ensemble des prépreuves infinies ou circulaires, celles qui sont des preuves valides. Une approche maintenant standard est de considérer qu'une prépreuve est valide si chacune de ses branches infinies est justifiée par un thread qui progresse infiniment souvent. Cette thèse étudie ces problèmes dans le cadre plus spécifique de MALL étendue avec des points fixes. On sait que, étant donnée une représentation circulaire finie d'une prépreuve non bien-fondée, il est possible de décider en espace polynomial si cette prépreuve est valide vis-à-vis du critère de threads. La première contribution de cette thèse est de démontrer que ce problème de décider le critère de threads pour mu-MALL-omega est en fait PSPACE-complet. Notre démonstration est fondée sur une étude approfondie des liens entre le critère de threads et le principe de size-change termination, habituellement utilisé pour garantir la terminaison de programmes. La deuxième contribution de cette thèse est de décrire un nouveau fragment de l'ensemble des représentations circulaires valides de prépreuves, fondé sur un critère de validité plus contraignant. Ce nouveau critère s'appuie sur un étiquetage des formules et des preuves, et sa validité est purement locale. Il permet à ce fragment d'être plus simple à manipuler, tout en restant suffisamment expressif pour contenir l'image des preuves finitaires du système mu-MALL de David Baelde, qui fonctionnent avec des invariants explicites d'induction et de coinduction. En particulier, il est possible de décider efficacement la validité d'une prépreuve circulaire vis-à-vis de ce nouveau critère, et de calculer efficacement un étiquetage qui certifie cette validité. De plus, et ceci constitue la troisième contribution de cette thèse, la conjecture de Brotherston-Simpson est vraie pour ce fragment : nous décrivons une méthode qui permet de transformer toute preuve circulaire étiquetée de notre fragment en une preuve finitaire, avec des invariants d'induction et de coinduction explicites. Finalement, nous explorons des manières d'étendre ces résultats de validité et de finitisation à un plus grand fragment, en relâchant les contraintes de l'étiquetage tout en conservant (1) la possibilité de certifier localement la validité des preuves et (2) dans une certaine mesure, la possibilité de finitiser les preuves circulaires ainsi étiquetées. (Et plutôt que de nous demander de tout écrire en ASCII, vous pourriez gérer l'UTF8 ?... :-) )
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03692893 , version 1 (10-06-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03692893 , version 1

Citer

Rémi Nollet. Circular representations of infinite proofs for fixed-points logics : expressiveness and complexity. General Mathematics [math.GM]. Université Paris Cité, 2021. English. ⟨NNT : 2021UNIP7100⟩. ⟨tel-03692893⟩
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