Local approximation by linear systems and Almost-Riemannian Structures on Lie groups and Continuation method in rolling problem with obstacles
Approximation locale par des systèmes linéaires et structures presque-Riemanniennes et Méthode de continuation dans un problème de roulement avec obstacles
Résumé
The aim of this thesis is to study two topics in sub-Riemannian geometry. On the one hand, the local approximation of an almost-Riemannian structure at singular points, and on the other hand, the kinematic system of a 2-dimensional manifold rolling (without twisting or slipping) on the Euclidean plane with forbidden regions. A n-dimensional almost-Riemannian structure can be defined locally by n vector fields satisfying the Lie algebra rank condition, playing the role of an orthonormal frame. The set of points where these vector fields are colinear is called the singular set (Z). At tangency points, i.e., points where the linear span of the vector fields is equal to the tangent space of Z, the nilpotent approximation can be replaced by the solvable one. In this thesis, under generic conditions, we state the order of approximation of the original distance by d ̃ (the distance induced by the solvable approximation), and we prove that d ̃ is closer than the distance induced by the nilpotent approximation to the original distance. Regarding the structure of the approximating system, the Lie algebra generated by this new family of vector fields is finite-dimensional and solvable (in the generic case). Moreover, the solvable approximation is equivalent to a linear ARS on a homogeneous space or a Lie group. On the other hand, nonholonomic systems have attracted the attention of many authors from different disciplines for their varied applications, mainly in robotics. The rolling-body problem (without slipping or spinning) of a 2-dimensional Riemannian manifold on another one can be written as a nonholonomic system. Many methods, algorithms, and techniques have been developed to solve it. A numerical implementation of the Continuation Method to solve the problem in which a convex surface rolls on the Euclidean plane with forbidden regions (or obstacles) without slipping or spinning is performed. Several examples are illustrated.
L'objectif de cette thèse est d'étudier deux sujets en géométrie sub-Riemannienne. D'une part, l'approximation locale d'une structure presque riemannienne aux points singuliers, et d'autre part, le système cinématique d’une variété à 2 dimensions roulant (sans torsion ni glissement) sur le plan euclidien avec des régions interdites. Une structure presque riemannienne de dimension n peut être définie localement par n champs vectoriels satisfaisant la condition de rang de l'algèbre de Lie, jouant le rôle d'un cadre orthonormé. L'ensemble des points où ces champs vectoriels sont colinéaires est appelé l'ensemble singulier Z. Aux points de tangence, c'est-à-dire aux points où l'espace linéaire engendré par champs vectoriels est égale à l'espace tangent de Z, l'approximation nilpotente peut être remplacée par l'approximation solvable. Dans cette thèse, sous des conditions génériques, nous établissons l'ordre d'approximation de la distance originale par d ̃ (la distance induite par l'approximation solvable) et nous prouvons que d ̃ est plus proche que la distance induite par l'approximation nilpotente de la distance originale. En ce qui concerne les structures des systèmes d'approximation, l'algèbre de Lie générée par cette nouvelle famille de champs vectoriels est de dimension finie et solvable (dans le cas générique). De plus, l'approximation solvable est équivalente à un ARS linéaire sur un espace homogène ou un groupe de Lie. D'autre part, les systèmes non-holonomes ont attiré l'attention de nombreux auteurs de différentes disciplines pour leurs applications variées, principalement en robotique. Le problème du corps roulant (sans glissement ni rotation) d'une variété riemannien bidimensionnel sur une autre variété peut être écrit comme un système non-holonomique. De nombreuses méthodes, algorithmes et techniques ont été développés pour le résoudre. Une implémentation numérique de la méthode de continuation pour résoudre le problème dans lequel une surface convexe roule sur le plan euclidien avec des régions interdites (ou obstacles) sans glisser ou tourner est effectuée. Plusieurs exemples sont illustrés.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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