Asymptotic properties of hypergraphs and channels
Propriétés asymptotiques des hypergraphes et des canaux
Résumé
Understanding the properties of objects under a natural product operation is a central theme in mathematics, computer science and physics. Examples of such basic objects include noisy communication channels in information theory, computational problems in algebraic complexity, and graphs in discrete mathematics. In this PhD thesis, we study the asymptotic growth of relevant properties for the powers of such objects. The first objects we consider are hypergraphs equipped with the strong product operation and the property of interest is the independence number. The asymptotic growth of the independence number of a hypergraph is known as the Shannon capacity. We introduce a general method for lower bounding the Shannon capacity of hypergraphs via combinatorial degenerations, a notion which originates from the study of matrix multiplication in algebraic complexity theory. This allows us to obtain the best-known lower bounds for multiple combinatorial problems, including the corner problem and its application in communication complexity. Tensors are the second considered objects. We can equip them with the tensor product and the property of interest is the symmetric subrank. The symmetric subrank is a notion we introduce motivated by limitations of current tensor methods to bound the Shannon capacity of hypergraphs. We prove precise relations and separations between subrank and symmetric subrank. We also prove that for symmetric tensors, the subrank and the symmetric subrank are asymptotically equal. This proves the asymptotic subrank analogon of a conjecture known as Comon’s conjecture in the theory of tensors. Finally, we study the growth of the divergence between tensor powers of quantum channels. By exploiting symmetries, we propose efficient algorithms to approximate the asymptotic channel divergence between channels. As an application, we obtain improved bounds on quantum channel capacities.
Comprendre les propriétés des objets dans le cadre d'une opération de produit naturel est un thème central en mathématiques, en informatique et en physique. Des exemples de tels objets de base incluent les canaux de communication bruyants en théorie de l'information, les problèmes de calcul en complexité algébrique et les graphes en mathématiques discrètes. Dans cette thèse, nous étudions la croissance asymptotique de propriétés pertinentes pour les puissances de tels objets. Les premiers objets que nous considérons sont des hypergraphes munis de l'opération de produit fort et la propriété d'intérêt est le nombre d'indépendance. La croissance asymptotique du nombre d'indépendance d'un hypergraphe est connue sous le nom de capacité de Shannon. Nous introduisons une méthode générale pour minorer la capacité de Shannon des hypergraphes via des dégénérescences combinatoires, une notion issue de l'étude de la multiplication matricielle en théorie de la complexité algébrique. Cela nous permet d'obtenir les bornes inférieures les plus connues pour de multiples problèmes combinatoires, y compris le problème du coin et son application dans la complexité de la communication. Les tenseurs sont les seconds objets considérés. Nous pouvons les équiper du produit tensoriel et la propriété d'intérêt est le sous-rang symétrique. Le sous-rang symétrique est une notion que nous introduisons motivée par les limitations des méthodes de tenseur actuelles pour borner la capacité de Shannon des hypergraphes. Nous prouvons des relations et séparations précises entre sous-rang et sous-rang symétrique. Nous prouvons également que pour les tenseurs symétriques, le sous-rang et le sous-rang symétrique sont asymptotiquement égaux. Cela prouve l'analogue de sous-rang asymptotique d'une conjecture connue sous le nom de conjecture de Comon dans la théorie des tenseurs. Enfin, nous étudions la croissance de la divergence entre les puissances tensorielles des canaux quantiques. En exploitant les symétries, nous proposons des algorithmes efficaces pour approximer la divergence asymptotique des canaux entre canaux. Comme application, nous obtenons des bornes améliorées sur les capacités des canaux quantiques.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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