Characterizations of matrix fields, potential matrices and applications to trace operators
Caracterisations de champs de matrices, potentiels matrices et applications aux operateurs traces
Résumé
Many authors have used stress fields to solve the equilibrium equation of continuum me- chanics. Airy (1863) solved the two-dimensional case, Maxwell (1870) and Morera (1892) solved the three-dimensional case. The above solutions are special cases of those of Beltrami (1892). Gurtin gave an example of solutions that do not have Beltrami’s S = CurlCurlA representation. He showed that if the domain Ω is regular, then this representation is complete in the class of regular stress fields which are self-equilibrated.My thesis title is ”Characterizations of matrix fields, potential matrices and applications to trace operators”. In this work, we are interested by showing many characterizations ofvector fields, of matrix fields and especially by generalizing the result of Gurtin in the case when the open set and the stress fields are not regular.This thesis consists of five chapters. The first chapter presents the research problem ad- dressed in this thesis. It also presents the origin of the subject of research.In the second chapter, we study the operator . In particular, the existence of potential vectors in different functional frameworks.In Chapters 3 and 4, we will show some versions of Beltrami’s completeness and we deduce some Helmholtz decomopsitions for symmetric matrix fields.The last chapter is devoted to the study of the image of different trace operators of functions W 2,p (Ω), W 3,p (Ω) when Ω is a bounded open of R 2 with Lipschitz boundary. The essential ingredient is given by the Airy’s function or by the Beltrami representation.
Plusieurs auteurs ont utilisé les champs de contraintes pour résoudre l'équation d’équilibre de la mécanique des milieux continus. Airy (1863) a résolu le cas bidimensionnel, Maxwell (1870) et Morera (1892) ont étudié le cas tridimensionnel. Les solutions obtenues sont des cas particuliers de celles de Beltrami (1892). Gurtin a donné un exemple de solutions ne satisfaisant pas la représentation S = CurlCurlA de Beltrami, ce qui signifie que la représentation précédente est incomplète. De plus, il a montré que si l’ouvert est régulier, alors elle est complète dans l’espace des champs réguliers de contraintes auto-équilibrés.Dans cette thèse intitulée ”Caractérisations de champs de matrices, potentiels matrices et applications aux opérateurs traces”, on s’intéresse à diverses caractérisations de champs de vecteurs, de champs de matrices et spécialement au résultat de Gurtin dans le cas où l’ouvert et les champs de contraintes ne sont pas réguliers.Cette thèse est décomposée en cinq chapitres. Le premier chapitre expose la problématique de recherche traitée dans cette thèse. Il présente également l’origine du sujet de recherche. Dans le deuxième chapitre, on étudie l’opérateur et en particulier l’existence de potentiels vecteurs dans différents cadres fonctionnels.Dans les chapitres 3 et 4, on va montrer quelques versions de la complétude de la représentation de Beltrami et en déduire des décompositions de Helmholtz pour les champs de matrices.Le dernier chapitre est consacré à l’étude de l’image de différents opérateurs traces de fonctions W 2,p (Ω), W 3,p (Ω) lorsque Ω est un ouvert borné de R 2 lipschitzien. L’ingrédient essentiel est donné par la fonction d’Airy ou par la représentation de Beltrami.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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