On solving parametric polynomial systems and quantifier elimination over the reals : algorithms, complexity and implementations
Sur la résolution de systèmes polynomiaux paramétriques et l'élimination de quantificateurs sur les réels : algorithmes, complexité et implémentations
Résumé
Solving polynomial systems is an active research area located between
computer sciences and mathematics. It finds many applications in
various fields of engineering and sciences (robotics, biology,
cryptography, imaging, optimal control). In symbolic computation, one
studies and designs efficient algorithms that compute exact solutions
to those applications, which could be very delicate for numerical
methods because of the non-linearity of the given systems.
Most applications in engineering are interested in the real solutions
to the system. The development of algorithms to deal with polynomial
systems over the reals is based on the concepts of effective real
algebraic geometry in which the class of semi-algebraic sets
constitute the main objects.
This thesis focuses on three problems below, which appear in many
applications and are widely studied in computer algebra and effective
real algebraic geometry:
- Classify the real solutions of a parametric polynomial system
according to the values of the parameters;
- One-block quantifier elimination, which is also the computation
of the projection of a semi-algebraic set
- Computation of the isolated points of a semi-algebraic set.
We designed new symbolic algorithms with better complexity than the
state-of-the-art. In practice, our efficient implementations of these
algorithms are capable of solving applications beyond the reach of the
state-of-the-art software.
La résolution de systèmes polynomiaux est un domaine de recherche
actif situé entre informatique et mathématiques. Il trouve de
nombreuses applications dans divers domaines des sciences de
l'ingénieur (robotique, biologie) et du numérique (cryptographie,
imagerie, contrôle optimal). Le calcul formel fournit des algorithmes
qui permettent de calculer des solutions exactes à ces applications,
ce qui pourraient être très délicat pour des algorithmes numériques en
raison de la non-linéarité.
La plupart des applications en ingénierie s'intéressent aux solutions
réelles. Le développement d'algorithmes permettant de les traiter
s'appuie sur les concepts de la géométrie réelle effective ; la classe
des ensembles semi-algébriques en constituant les objets de base.
Cette thèse se concentre sur trois problèmes ci-dessous, qui
apparaissent dans de nombreuses applications et sont largement étudié
en calcul formel :
- Classifier les racines réelles d'un système polynomial
paramétrique selon les valeurs des paramètres;
- Élimination d'un bloc de quantificateurs;
- Calcul des points isolés d'un ensemble semi-algébrique.
Nous concevons de nouveaux algorithmes symboliques avec une meilleure
complexité que l'état de l'art. En pratique, nos implémentations
efficaces de ces algorithmes sont capables de résoudre des problèmes
hors d'atteinte des logiciels de l'état de l'art.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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