Dans cette thèse (en cotutelle), on s'intéresse à l'étude des problèmes aux valeurs propres nonlinéaires et à la contrôlabilité des équations aux dérivées partielles dans un domaine borné, régulier avec bord. La première partie est consacrée à l'analyse d'un problème aux valeurs propres pour des opérateurs elliptiques quasi-linéaires avec des conditions aux limites homogènes de Dirichlet. Nous étudions le comportement asymptotique du spectre du problème correspondant en montrant d'une part les résultats de bifurcation à partir de solutions triviales en utilisant le théorème de bifurcation de Krasnoselski et d'autre part la bifurcation à l'infini en utilisant le degré de Leray-Schauder. Nous prouvons également l'existence de points critiques multiples en utilisant des méthodes variationnelles et le genre de Krasnoselski. Enfin, nous montrons un résultat de stabilisation pour l'équation des plaques amorties avec une décroissance logarithmique de l'énergie associée. La preuve de ce résultat est réalisée au moyen d'une estimation de Carleman pour les opéra-teurs elliptiques d'ordre quatre avec les conditions au bord dites de Lopatinskii-Sapiro et d'une estimation de la résolvante pour le générateur du semigroupe de la plaque amortie associé à ces conditions aux limites.