Reaction-diffusion equations with membrane conditions describing tumor invasion
Équations de réaction-diffusion avec conditions de membrane décrivant l'invasion tumorale
Résumé
Reaction-diffusion membrane problems find several applications in physics, biology and medical sciences, both in the case of linear and nonlinear diffusion. We mainly focus on the biological setting of two domains separated by a permeable membrane. At first, extending the work by Sanchez-Palencia to the porous medium case, we rigorously derive the effective interface conditions, called Kedem-Katchalsky conditions, as the limit of transmission conditions when the thickness of the membrane converges to zero. This is biologically relevant and convenient for numerical simulations. Then, the following worksregard this limit problem on a zero-thickness membrane, but in the linear case. Extending the theory developed by Pierre and his collaborators, we establish the existence of global weak solutions when initial data have an L^1 regularity and nonlinearities have a sub-quadratic growth. In another work, we look at the situation in which two populations react and diffuse in a single domain creating spatial patterns. We adapt this Turing theory to the case of a permeable membrane. The result is quite similar to the standard case, but pattern formation is influenced both by diffusion and permeability coefficients.Finally, we present a more applied study in collaboration with biologists from the Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers of INSERM at Saint-Antoine Hospital in Paris. In fact, Kedem-Katchalsky conditions can well characterise the flow of tumor cells through the basal membrane, in the so-called invasion process. This is a key step in the metastatic cascade and it is allowed by several stages, among which we distinguish membrane degradation. With the aim of deepening the invasion phenomenon, we propose a mathematical model concerning degradation of a biological layer. We present numerical simulations and an a priori analysis on the sensitivity of our system and on the parameter estimation. This is a preparatory work waiting for experimental results.
Les problèmes de membrane dans les systèmes de réaction-diffusion trouvent de nombreuses applications en physique, en biologie et en médecine, aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire. Nous nous intéressons à ces systèmes pour le cas de membranes biologiques. L’exemple représentatif étant donné par deux domaines séparés par une membrane perméable. Dans un premier temps, nous commençons par adapter le travail de Sanchez-Palencia à l’égard de systèmes de type fluide dans un milieu poreux afin de déterminer les conditions de membrane effectives, usuellement appelées conditions de Kedem-Katchalsky, en faisant tendre l’épaisseur de la membrane vers 0. Le modèle limite est à la fois biologiquement pertinent et très bien adapté pour des simulations numériques. Les travaux suivants s’intéressent au cas de diffusion linéaire avec des conditions de membrane effectives. En étendant la théorie développée par Pierre et ses collaborateurs, nous établissons l’existence de solutions faibles globales lorsque les données initiales ont une régularité L1 et que les non-linéarités ont une croissance sous-quadratique. Dans un autre travail, nous regardons la situation dans laquelle deux populations réagissent et diffusent dans un même domaine en créant des structures spatiales. Nous étendons cette théorie de Turing au cas d’une membrane perméable. Le résultat obtenu est assez similaire au cas sans membrane mais ici vont jouer un rôle aussi bien les coefficients de diffusion que ceux de perméabilité à l’interface. Enfin, nous présentons une étude plus appliquée en collaboration avec le Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers de l’INSERM à l’Hôpital Saint Antoine à Paris. En effet, les conditions de Kedem-Katchalsky permettent de bien caractériser le flux de cellules tumorales à travers la membrane basale, dans le processus dit d’invasion. C’est une étape clé dans la cascade métastatique qui est composée de plusieurs phases, parmi lesquelles on distingue la dégradation de la membrane. Dans le but d’approfondir notre compréhension du phénomène d’invasion, nous proposons un modèle mathématique représentant la dégradation d’une couche biologique. Nous présentons des simulations numériques et une analyse a priori sur la sensibilité de notre système et sur l’estimation des paramètres. Il s’agit d’un travail préparatoire en attente des résultats expérimentaux.
I problemi di reazione-diffusione con membrana trovano numerose applicazioni in fisica, biologia e medicina, sia nel caso di diffusione lineare che non lineare. Ci interessiamo a questi sistemi nel caso di membrane biologiche. L’esempio rappresentativo é quello di due domini separati da una membrana permeabile. In un primo tempo, estendendo il lavoro di Sanchez-Palencia per le equazioni dei mezzi porosi, ricaviamo in modo rigoroso le condizioni di interfaccia, chiamate condizioni di Kedem-Katchalsky, come limite di condizioni di trasmissione quando lo spessore della membrana converge a zero. Ciò è rilevante dal punto di vista biologico e conveniente per le simulazioni numeriche. I lavori che seguono riguardano questo problema limite su una membrana di spessore zero, ma guardando al caso di diffusione lineare. In un secondo studio, estendendo la teoria sviluppata da Pierre e dai suoi collaboratori, stabiliamo l’esistenza di soluzioni deboli globali quando i dati iniziali hanno una regolarità L1 e le nonlinearità hanno una crescita al più quadratica. In un altro lavoro, guardiamo alla situazione in cui due popolazioni reagiscono e si diffondono in un unico dominio creando strutture spaziali. Adattiamo questa teoria di Turing in presenza di una membrana permeabile. Il risultato è abbastanza simile alla classica teoria di Turing, ma la formazione di pattern é influenzata sia dai coefficienti di diffusione che di permeabilità della membrana. Infine, presentiamo un lavoro più applicato in collaborazione con dei biologi del Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers dell’INSERM all’Ospedale Saint Antoine a Parigi. Infatti, le condizioni di Kedem-Katchalsky possono caratterizzare il flusso di cellule tumorali attraverso la membrana basale, nel cosiddetto processo di invasione. Questo è un passaggio chiave nella cascata metastatica ed è consentito da diverse fasi, tra le quali distinguiamo la degradazione della membrana. Con l’obiettivo di approfondire la nostra conoscenza del fenomeno invasivo, proponiamo un modello matematico che rappresenta la degradazione di una membrana biologica. Presentiamo anche simulazioni numeriche e un’analisi a priori della sensibilità del nostro sistema e della stima dei parametri. Si tratta di un lavoro preparatorio in attesa dei risultati sperimentali.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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