Dans le domaine de l'optimisation polynomiale, deux approches différentes et duales sont considérées : l'approximation de polynômes positifs à l'aide de sommes de carrés (SoS), qui se traduit par la hiérarchie SoS de Lasserre, et l'approximation de mesures à l'aide de fonctions linéaires positives tronquées (ou de séquences de pseudo-moments tronquées), qui se traduit par la hiérarchie des moments de Lasserre. Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de représentation exactes et approchées dans les deux cas. La représentation des polynômes positifs en termes de sommes de carrés est une question centrale en géométrie algébrique réelle, à laquelle répondent les Positivstellensätze. En particulier, nous étudions une version effective du Positivstellensatz de Putinar, et fournissons de nouvelles bornes sur le degré de représentation d'un polynôme strictement positif sur un ensemble semialgébrique de base S compact, sous la condition Archimedienne. Ces bornes font intervenir un paramètre ε, qui mesure à quelle distance se trouve le polynôme strictement positif d'avoir un zéro sur l'ensemble semialgébrique : ce sont les premières bornes avec une dépendance polynomiale de ε -1. Dans les bornes, on trouve également une nouvelle dépendance explicite de l'exposant de Łojasiewicz Ł et de la constante cst, provenant d'une inégalité Łojasiewicz entre les fonctions de distance et de distance semialgébrique de S. Nous analysons en détail les cas réguliers, dans lesquels nous pouvons montrer que l'exposant Łojasiewicz est égal à un et nous avons des limites explicites pour la constante Łojasiewicz. Nous interprétons notre Positivstellensatz effectif de Putinar comme un résultat d'approximation quantitatif des polynômes positifs, et déduisons la première convergence polynomiale générale pour les hiérarchies de Lasserre. Du point de vue dual, nous déduisons les taux de convergence des fonctions linéaires positives tronquées (ou des séquences pseudo-momentales tronquées) vers les mesures. Nous passons ensuite aux représentations exactes dans le dual. Nous étudions les propriétés des cônes duaux des modules quadratiques tronqués, et nous introduisons le concept d'exactitude pour la hiérarchie des moments de Lasserre, qui est étroitement lié à la propriété de troncation plate. Nous montrons que le dual de la hiérarchie des moments coïncide avec une hiérarchie SoS étendue, et nous détaillons l'analyse pour les ensembles semialgébriques de dimension zéro. Enfin, nous appliquons les résultats obtenus à l'étude de la troncation plate. Nous donnons la première condition nécessaire et suffisante pour la troncature plate, sous l'hypothèse de convergence finie, en donnant des limites pour l'ordre de relaxation nécessaire. Comme corollaires, nous concluons que la troncation plate est vérifiée sous des hypothèses génériques, et nous donnons une présentation unifiée des différents résultats dans le cas de la dimension zéro. Comme application, nous présentons un nouvel algorithme pour calculer le radical réel d'un idéal I. Nous exploitons les propriétés des fonctions linéaires positives tronquées et les techniques de la géométrie algébrique numérique. Nous donnons un critère d'arrêt efficace et général sur le degré, pour détecter quand le noyau de la matrice des moments d'une fonction linéaire générique peut être utilisé pour calculer les équations des composantes irréductibles de la variété réelle définie par I. Enfin, nous calculons le radical réel comme l'intersection d'idéaux premiers réels contenant sur I, et illustrons cette approche par plusieurs exemples.