Acceleration techniques of the Parareal algorithm for solving some differential equations
Techniques d'accélération de l'algorithme Pararéel pour résoudre certaines équations différentielles
Résumé
Parareal algorithm is well known in the literature for its ability in exploiting parallelism in time for solving time dependent problems. Having the same idea of domain decomposition methods, but instead of decomposing in space, parareal decomposes the time direction. In this thesis, we first present an interpretation of parareal as a two-level domain decomposition preconditioner so-called the two-level additive Schwarz in time preconditioner and, based on that, a variant that accelerates convergence by using a GMRES-type procedure. Connections to the MGRIT generalization of parareal are shown. The interpretation also allows us to derive convergence results for multiple variations of the method where we vary the number and order of coarse and fine level iterations. GMRES shows its potential in improving parareal's convergence rate, especially in solving reaction-advection-diffusion equation when advection and reaction coefficients are large. We also present the idea of using a different model so-called the reduced model which is based on the two-scale asymptotic expansion for the coarse propagator in parareal framework. This coupling strategy is studied for efficiently solving oscillatory singularly perturbed ODEs which are characteristics of a six-dimensional Vlasov equation. The coupling strategy shows its accuracy and efficiency in various numerical experiments with a uniform convergence rate. In the last part of the thesis, we study the acceleration of GMRES using a deflation technique of the smallest singular values of the problem. We present a new deflation method using sparse QR, especially Strong Rank Revealing QR (Strong RRQR) factorization with tournament pivoting strategy and nested dissection partition. The coupling strategy shows that the smallest singular values close to zero are replaced by larger ones. Furthermore, the combination between the deflation and the Block Jacobi preconditioner results in much faster convergence of GMRES.
L'algorithme pararéel est bien connu dans la littérature pour sa capacité à exploiter le parallélisme dans le temps pour résoudre des problèmes dépendant du temps. Ayant la même idée des méthodes de décomposition de domaine, mais au lieu de se décomposer dans l'espace, le pararéel décompose la direction du temps. Dans cette thèse, nous présentons d'abord une interprétation du pararéel en tant que préconditionneur de décomposition de domaine à deux niveaux appelé préconditionneur additif Schwarz en temps à deux niveaux et, sur cette base, une variante qui accélère la convergence en utilisant une procédure de type GMRES. Les connexions à la généralisation MGRIT du pararéel sont présentées. L'interprétation nous permet également de dériver des résultats de convergence pour de multiples variations de la méthode où nous varions le nombre et l'ordre des itérations de niveau grossier et fin. GMRES montre son potentiel dans l'amélioration du taux de convergence du pararéel, en particulier dans la résolution de l'équation de réaction-advection-diffusion lorsque les coefficients d'advection et de réaction sont importants. Nous présentons également l'idée d'utiliser un modèle différent appelé le modèle réduit qui est basé sur l'expansion asymptotique à deux échelles pour le propagateur grossier dans un cadre pararéel. Cette stratégie de couplage est étudiée pour résoudre efficacement les EDO oscillatoires singulièrement perturbés qui sont caractéristiques d'une équation de Vlasov à six dimensions. La stratégie de couplage montre sa précision et son efficacité dans diverses expériences numériques avec un taux de convergence uniforme. Dans la dernière partie de la thèse, nous étudions l'accélération de GMRES en utilisant une technique de déflation des plus petites valeurs singulières du problème. Nous présentons une nouvelle méthode de déflation utilisant le QR parcimonieux, en particulier la factorisation Strong Rank Revealing QR (Strong RRQR) avec stratégie de pivotage par tournoi et partition de dissection imbriquée. La stratégie de couplage montre que les plus petites valeurs singulières proches de zéro sont remplacées par des plus grandes. De plus, la combinaison entre la déflation et le préconditionneur Block Jacobi se traduit par une convergence beaucoup plus rapide de GMRES.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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