Branching processes and multiple term structure modeling
Processus de branchement et modélisation des structures à terme multiples
Résumé
This thesis is devoted to the modeling of multiple term structures in financial markets by relying on continuous-state branching processes with immigration (CBI). We consider two financial markets where multiple term structures coexist: the post-crisis interest rate market, in which multiple yield curves have emerged since the 2007--2009 financial crisis; and the Foreign-Exchange market (FX), where multiple currencies are traded by spot and derivative transactions. This manuscript is divided into five chapters. We start by introducing the main topics of the thesis in Chapter 1. In particular, we present a general multiple term structure framework, we then draw our motivation from the empirical features of the considered markets, and state the main objective that this thesis seeks to attain. Part 1 consists of Chapters 2 and 3, and is dedicated to the modeling of multiple yield curves in the post-crisis interest rate market with CBI processes. In Chapter 2, we present a self-contained framework for CBI processes. This framework contains an analysis of exponential moments of CBI processes, a study of the relations between two stochastic representations of a CBI process, and an overview of several examples of CBI processes that can be found in the literature. We also introduce a new specification of a CBI process that we name "tempered-stable CBI process". In Chapter 3, we develop a modeling framework for multiple yield curves based on CBI processes, motivated by the empirical features of the spreads between interbank rates. We construct a new class of multi-curve models driven by a flow of tempered-stable CBI processes. Such models are especially parsimonious and tractable, and are able to generate contagion effects among different spreads. The proposed approach also allows for the explicit valuation of all linear interest rate derivatives, and ensures semi-closed-form formulae for non-linear products by means of Fourier techniques. We provide a numerical comparison of FFT and quantization-based pricing methodologies, and show that a simple specification of the proposed class of CBI-driven multi-curve models can be successfully calibrated to market data. Part 2 comprises Chapters 4 and 5, and addresses the issue of modeling multiple currencies in the FX market. In Chapter 4, we construct a class of two-dimensional processes combining CBI processes with time-changed Lévy processes, which we name "CBI-time-changed Lévy processes" (CBITCL). We develop an analytical framework extending most of the results of Chapter 2 for CBI processes, which will be applied to multiple currency modeling in Chapter 5. In particular, we formulate a Girsanov-type theorem for CBITCL processes, which will have important applications in multiple currency modeling. In Chapter 5, we develop a general stochastic volatility framework for multiple currencies based on CBITCL processes. Besides capturing the typical sources of risk in the FX market, and preserving the peculiar symmetries of FX rates, our framework allows for self-excitation in the volatility of FX rates, which derives from the self-exciting behavior of CBI processes. The proposed approach is analytically tractable since it relies on the technology of affine processes, and allows to characterize a class of risk-neutral measures that leave invariant the structure of the framework. We also derive a semi-closed-form pricing formula for currency options via Fourier techniques. Finally, we test our model by means of a calibration to an FX triangle where two types of calibration are proposed: "standard" and "deep", the latter of which uses deep-learning techniques.
Cette thèse est consacrée à la modélisation des structures à terme multiples à l'aide des processus de branchement à état continu avec immigration (processus CBI). Nous considérons deux marchés financiers où l'on peut observer la coexistence de structures à terme multiples : le marché des taux d'après-crise, où les courbes multiples de taux ont émergé depuis la crise financière, et le marché des taux de change, où de multiples devises sont échangées à l'aide de transactions au comptant ou par échanges de produits dérivés. Cette thèse est divisée en cinq chapitres. Nous introduisons les sujets principaux de la thèse dans le chapitre 1. Nous présentons un cadre de travail général pour la modélisation des structures à terme multiples, nous motivons notre approche à l'aide des caractéristiques empiriques des marchés considérés, et définissons l'objectif principal de la thèse. La partie 1 se compose des chapitres 2 et 3, et est dédiée à la modélisation des courbes multiples de taux via processus CBI. Dans le chapitre 2, nous présentons un cadre de travail autonome pour les processus CBI. Ce cadre de travail contient une analyse des moments exponentiels des processus CBI, une étude des relations entre deux représentations stochastiques d'un processus CBI, et une vue d'ensemble des nombreux exemples de processus CBI. Nous introduisons aussi une nouvelle spécification que l'on nomme "processus CBI stable et tempéré". Dans le chapitre 3, nous développons un modèle pour les courbes multiples de taux basé sur les processus CBI, motivé par les caractéristiques empiriques des "spreads'' entre les taux interbancaires. Nous construisons une nouvelle classe de modèles à courbes multiples dépendant d'un flux de processus CBI stables et tempérés. Ces modèles sont parcimonieux du point de vue du nombre de paramètres et sont capables de générer des effets de contagion entre les différents spreads. L'approche proposée permet aussi une évaluation efficace des dérivés de taux linéaires, et assure l'existence de formules en forme close pour les produits non linéaires à l'aide de techniques basées sur la transformée de Fourier. Nous comparons numériquement deux méthodes de pricing basées sur l'algorithme FFT et la quantification, et montrons qu'une spécification de notre classe de modèles peut être calibrée avec succès aux données du marché. La partie 2 comprend les chapitres 4 et 5, et répond au problème de la modélisation des devises multiples. Dans le chapitre 4, nous construisons une classe de processus à deux dimensions combinant processus CBI et processus de Lévy changés en temps, que l'on nomme "CBI-time-changed Lévy processes" (CBITCL). Nous développons un cadre de travail analytique étendant la plupart des résultats du chapitre 2. En particulier, nous formulons un théorème de type Girsanov pour les processus CBITCL, qui aura des applications importantes pour la modélisation des devises multiples. Dans le chapitre 5, nous développons un modèle à volatilité stochastique pour les devises multiples basé sur les processus CBITCL. En plus de capturer les facteurs de risque du marché de change, et de préserver les symétries propres à ses taux, notre modèle est aussi capable de produire des processus de taux de change dont la volatilité peut s'exciter elle-même. L'approche proposée est maniable du point de vue analytique puisque celle-ci repose sur la technologie des processus affine, et permet de caractériser une classe de probabilités neutres au risque préservant la structure du modèle. Nous assurons aussi une formule de pricing de forme semi-close pour les options sur devises par le biais de techniques basées sur la transformée de Fourier. Enfin, nous testons notre modèle via une calibration à un triangle de change où deux types de calibration sont proposés : "standard" et "deep", où ce dernier utilise des techniques de deep learning.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|