La croissance maximale des périodes automorphes et intégrales oscillatoires pour les variétés plates maximales
The maximal growth of automorphic periods and oscillatory integrals for maximal flat submanifold
Résumé
This dissertation contributes to the analytic theory of automorphic periods and automorphic L-functions.In the first part we prove an extreme value result for geodesic periods of Hecke-Maass forms on compact arithmetic hyperbolic surfaces, as the Laplacian eigenvalue grows. The proof uses the celebrated amplification method of Iwaniec and Sarnak. We also obtain a theorem on extreme values of Rankin-Selberg L-functions and draw the connection to conjectures on the maximal size of L-functions.In the second part we prove a spectral aspect extreme value result for maximal flat periods of Hecke-Maass forms, on compact locally symmetric spaces associated to forms of PGL(3). We discuss its significance in the wider context of extreme behavior of automorphic periods. We also prove a mean square asymptotic for maximal flat periods on more general compact locally symmetric spaces.Our main technical contributions are the following. The first is the analysis of orbital integrals needed to prove asymptotics for a relative trace formula, together with new results on the global geometry of maximal flat submanifolds of symmetric spaces. The second is an exploration of the limits of the amplification method for toric periods on forms of PGL(n).
Cette thèse contribue à la théorie analytique des formes automorphes et des fonctions L automorphes. Dans une première partie nous démontrons un résultat sur les valeurs extrêmes des périodes géodésiques des formes de Hecke-Maass sur les surfaces hyperboliques compactes, quand la valeur propre du Laplacien grandit. La preuve utilise la méthode d'amplification d'Iwaniec et Sarnak. Nous obtenons aussi un résultat sur les valeurs extrêmes des fonctions L de Rankin-Selberg et nous faisons le lien avec les conjectures sur les valeurs extrêmes des fonctions L. Dans une deuxième partie nous démontrons un résultat sur les valeurs extrêmes des périodes plates maximales des formes de Hecke-Maass, sur les espaces symétriques compacts associés aux formes de PGL(3). Nous discutons de son importance dans le contexte plus large du comportement extrémal des périodes automorphes. Nous obtenons aussi une asymptotique pour des moyennes quadratiques des périodes plates maximales sur des espaces symétriques compacts plus généraux. Nos principales contributions techniques sont les suivantes. La première est l'analyse des intégrales orbitales utilisée pour obtenir des asymptotiques pour une formule de traces relative, ainsi que des nouveaux résultats sur la géométrie globale des sous-variétés plates maximales des espaces symétriques. La deuxième est une exploration des limites de la méthode d'amplification pour les périodes toriques sur les formes de PGL(n).
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