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Thèse Année : 2021

Relative Calabi-Yau structures in representation theory

Structures relatives de Calabi-Yau en théorie des représentations

Résumé

The generalized (higher) cluster category arising from a suitable (n + 1)-Calabi-Yau differential graded algebra was introduced by Claire Amiot and Lingyan Guo. It is Hom-finite, n-Calabi-Yau and admits a canonical n-cluster-tilting object. Our first aim in this thesis is to generalize their construction to the relative context. We prove the existence of an n-cluster tilting object in a Frobenius extriangulated category which is stably n-Calabi-Yau and Hom-finite, arising from a left (n+1)-Calabi-Yau morphism. Our results apply in particular to relative Ginzburg dg algebras coming from ice quivers with potential. They are closely linked to Iyama-Oppermann's theory of (n+1)-preprojective algebras of n-representation-finite algebras. In 2009, Keller and Yang categorified quiver mutation by interpreting it in terms of equivalences between derived categories. Their approach was based on Ginzburg's Calabi-Yau algebras and on Derksen-Weyman-Zelevinsky's mutation of quivers with potential. Recently, Matthew Pressland has generalized mutation of quivers with potential to that of ice quivers with potential. Our second aim in this thesis is to categorify Pressland's mutation rule. We show that it yields derived equivalences between the associated relative Ginzburg algebras, which are special cases of Yeung's deformed relative Calabi-Yau completions. We also give a categorification of mutation at frozen vertices as it appears in recent work of Fraser-Sherman-Bennett on positroid cluster structures.
La catégorie amassée généralisée (supérieure) associée à une dg-algèbre (n+1)-Calabi-Yau appropriée a été introduite par Claire Amiot et Lingyan Guo. Elle est Hom-finie, n-Calabi-Yau et admet un objet canonique n-amas-basculant. Notre premier objectif dans cette thèse est de généraliser leur construction au contexte relatif. Nous prouvons l'existence d'un objet n-amas-basculant dans une catégorie extriangulée de Frobenius qui est stablement n-Calabi-Yau et Hom-finie, associée à un morphisme (n+1)-Calabi-Yau. Nos réultats s'appliquent en particulier aux dg-algèbres relatives de Ginzburg provenant de carquois glacés à potentiel. Ils sont étroitement liés aux algèbres de n-représentation finie étudiées par Iyama-Oppermann. En 2009, Keller et Yang ont catégorifié les mutations de carquois en les interprétant en termes d'équivalences entre catégories dérivées. Leur approche était basée sur les algèbres de Calabi-Yau de Ginzburg et sur la mutation de Derksen-Weyman-Zelevinsky des carquois à potentiel. Récemment, Matthew Pressland a généralisé la mutation des carquois à potentiel à celle des carquois glacés à potentiel. Notre deuxième objectif dans cette thèse est de catégorifier la règle de mutation de Pressland. Nous montrons qu'elle fournit des équivalences dérivées entre les algèbres de Ginzburg relatives associées, qui sont des cas particuliers de complétions relatives Calabi-Yau déformées de Yeung. Nous donnons également une catégorifiation de la mutation par rapport à des sommets gelés telle qu'elle apparaît dans les travaux récents de Fraser-Sherman-Bennett sur les structures amassées sur les variétés positrödes ouvertes.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04009895 , version 1 (01-03-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04009895 , version 1

Citer

Yilin Wu. Relative Calabi-Yau structures in representation theory. General Mathematics [math.GM]. Université Paris Cité, 2021. English. ⟨NNT : 2021UNIP7234⟩. ⟨tel-04009895⟩
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