Mathematical study of a plasma model and turbulence in fluid mechanics
Etude mathématique d’un modèle de plasma et de la turbulence en mécanique des fluides
Résumé
This thesis is dedicated to the mathematical study of two different mod- els: the Hall-magnetohydrodynamics (Hall-MHD) system and a non-local Burgers equation with non-linear diffusion.Hall-MHD system describes the time evolution of three-dimensional plas- ma. We are concerned with existence (local-in-time for large data or global- in-time for small data) and uniqueness issues for Hall-MHD supplemented with initial velocity and magnetic field in critical regularity spaces, in the spirit of Fujita-Kato and, later, Chemin’s theorem for the classical Navier- Stokes equations. We investigate the time-decay estimates, blow-up criterion and stability properties of such solutions. A weak-strong uniqueness state- ment is also proven. When the data for the Hall-MHD system are indepen- dent of the vertical variable (the so-called 2 1/2 D flows), we establish the global existence of a strong solution, assuming only that the initial magnetic field is small. Our strategy strongly relies on the use of auxiliary vector-fields and of an extended formulation involving the so-called velocity of electron. The proof is based on the Littlewood-Paley theory and energy method.In the second part of this thesis, we focus on the study of a generalized non-local Burgers equation in a multi-dimensional periodic domain. We construct global classical solutions starting from smooth positive data, and global weak solutions starting from bounded positive data. We show that any weak solution is instantaneously regularized into infinitely differ- entiable. We also describe the long-time asymptotics of all solutions. Our methods follow several recent advances in the regularity theory of parabolic integro-differential equations.Keywords:Magneto-hydrodynamics, Hall effect, non-local Burgers equation, well-posedness, critical regularity, long-time asymptotics, blow-up criterion, weak- strong uniqueness, Schauder estimates.
Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique de deux modèles différents: le système de la magnéto-hydrodynamique prenant en compte l’effet Hall (Hall-MHD), et d’une équation scalaire de type Burgers avec terme non local et diffusion non linéaire.Le système Hall-MHD décrit l’évolution temporelle d’un plasma tridimensionnel. Nous nous intéressons aux questions d’existence (locale dans le temps pour les grandes données ou globale dans le temps pour les petites données) et d’unicité pour le système Hall-MHD couplé à une vitesse et un champ magnétique initial dans des espaces de régularité critique, dans l’esprit du théorème de Fujita-Kato et, plus tard, de Chemin pour les équations classiques de Navier-Stokes. Nous étudions les estimations de décroissance temporelle, le critère d’explosion et les propriétés de stabilité de ces solutions. Un énoncé d’unicité fort-faible est également prouvé. Lorsque les données du système Hall-MHD sont indépendantes de la variable verticale (les flux dits de dimension 2 1/2), nous établissons l’existence globale d’une solution forte, en supposant seulement que le champ magnétique initial est petit. Notre stratégie s’appuie fortement sur l’utilisation de champs vectoriels auxiliaires et d’une formulation impliquant ce que l’on appelle la vitesse de l’électron. La preuve est basée sur la théorie de Littlewood-Paley et la méthode de l’énergie.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur l’étude d’une équation de Burgers non locale généralisée dans un domaine périodique multidimensionnel. Nous construisons des solutions classiques globales à partir de don- nées positives et régulières, et des solutions faibles globales à partir de données positives et bornées. Nous montrons que toute solution faible est instantanément régularisée en une fonction infiniment différentiable. Nous décrivons également le comportement asymptotique en temps long de toutes les solutions. Nos méthodes s’appuient sur plusieurs avancées récentes dans la théorie de la régularité des équations intégro-différentielles paraboliques.Mots-clé:Magnéto-hydrodynamique, effet Hall, problème bien posé, régularité critique, asymptotique en temps long, critères d’explosion, unicité fort-faible, équation de Burgers non locale, estimations de Schauder.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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