Birational automorphisms of varieties
Automorphismes birationnels des variétés
Résumé
The thesis covers various problems on groups of regular and birational automorphisms of algebraic and complex varieties, and roughly explores the differences and similarities between these two groups.First, we focus on the description of finite subgroups of the group of birational automorphisms Bir(X) of a rationally connected complex threefold X. We prove that any 3-subgroup in Bir(X) can be generated by at most 5 elements and in all but two concrete cases it can be generated by at most 4 elements. Also we describe the group of regular automorphisms Aut(S) of a quasi-projective surface S defined over a field k such that char(k) > 0. We show that this group satisfies the p-Jordan property. One of the main ingredients here is the MMP, which allows us to reduce questions about finite subgroups of birational transformations to classifying groups of regular automorphisms of very special algebraic varieties that arise as the end result of MMP.Then we consider birational automorphisms of infinite order, and try to understand when it is possible to construct a birational model where the induced automorphism is regular. We are mainly interested in a family of examples of birational automorphisms of P^3 introduced by J. Blanc. These birational automorphisms induce pseudo-automorphisms on a special birational model of P^3 i.e. it has a small extremal locus, and is therefore close to being regular. However, the main result of the second part of the thesis is that it is not conjugate to a regular automorphism. The approach we take is dynamical in nature, and the action of birational maps on the Néron-Severi space plays an important role.The last part of the thesis is concerned with the description of the automorphism group of a class of non-Kähler manifolds introduced by D. Guan and further studied by F. Bogomolov. These manifolds are non-Kähler analogues of hyperkähler manifolds; thus, we expect that their properties are similar. By Bogomolov’s construction these manifolds fiber over the projective space with abelian varieties as generic fibers; thus, algebraic tools can be used to study their geometry. More precisely, we prove that an algebraic reduction of Bogomolov-Guan manifold of dimension 2n is the projective space of dimension n. Then we study the locus of singular fibers of an algebraic reduction and conclude that the group of regular automorphisms of Bogomolov-Guan manifolds is Jordan. In the four-dimensional case the same is true for the group of bimeromorphic automorphisms.
La thèse couvre divers problèmes portant sur les groupes d'automorphismes réguliers et birationnels de variétés algébriques complexes, et explore les différences et les similitudes entre ces deux groupes.Dans un premier temps, nous nous intéressons à la description des sous-groupes finis du groupe des automorphismes birationnels Bir(X) d'une variété complexe rationnellement connexe X de dimension 3. Nous prouvons que tout 3-sous-groupe peut être généré par au plus 5 éléments et dans tous les cas sauf deux, il peut être généré par au plus 4 éléments. Nous décrivons également le groupe des automorphismes réguliers Aut(S) d'une surface quasi-projective S définie sur un corps k tel que char(k) > 0. Nous montrons que ce groupe satisfait la propriété p-Jordan. L'un des principaux ingrédients ici est le programme du modèle minimal (MMP), qui nous permet de réduire des questions sur les groupes finis de transformations birationnelles à la classification de groupes d'automorphismes réguliers de variétés algébriques très particulières obtenues après application du MMP.Ensuite, nous considérons des automorphismes birationnels d'ordre infini, et essayons de comprendre quand il est possible de construire un modèle birationnel où l'automorphisme induit est régulier. Nous nous intéressons principalement à l'exemple d'automorphismes birationnels d'une variété rationnelle de dimension 3 introduits par J. Blanc. Cet automorphisme birationnel induit un pseudo-automorphisme sur un modèle birationnel spécial de P^3, c'est-à-dire qu'il a un petit lieu extrémal ; par conséquent, il est proche d'être régulier. Cependant, le résultat principal de la deuxième partie de la thèse est que ces applications ne sont pas conjuguées à des automorphismes réguliers. L'approche que nous adoptons dans cette partie est de nature dynamique, et l'action des automorphismes birationnels sur les espaces de Néron-Severi joue un rôle important.La dernière partie de la thèse porte sur la description du groupe d'automorphismes d'une classe de variétés non-Kählériennes introduite par D. Guan et étudiée plus en détails par F. Bogomolov. Ces variétés sont des analogues non-Kähler des variétés hyperkählériennes, et leurs propriétés sont relativement similaires. Selon la construction de Bogomolov, ces variétés fibrent sur l'espace projectif avec des variétés abéliennes comme fibres génériques; ainsi, des outils algébriques peuvent être utilisés pour étudier leur géométrie. Plus précisément, nous prouvons que la réduction algébrique de la variété Bogomolov-Guan de dimension 2n est l'espace projectif de dimension n, puis nous étudions le lieu des fibres singulières d'une réduction algébrique et concluons que le groupe des automorphismes réguliers des variétés Bogomolov-Guan est Jordan. Dans le cas de la dimension 4 il en est de même pour le groupe des automorphismes biméromorphes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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