Geometry of isotropy classes for representation of groups with applications in Mechanics of Materials - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Geometry of isotropy classes for representation of groups with applications in Mechanics of Materials

Géométrie des classes d'isotropie des représentations de groupes avec applications à la Mécanique des Matériaux

Résumé

This study revolves around linear representations of compact Lie groups and the study of the isotropy classes of such representations. The initial motivation of this work lays down in solving some problems in mechanics of materials where representations of compact groups, such as subgroups of O(3), are involved. Isotropy classes of group representations are known to be semialgebraic sets characterized by polynomial invariants inequalities. In this thesis, we prove that, in fact, for any representation of compact Lie group, closed isotropy classes are algebraic sets. This result is motivated by several examples in mechanics. For instance, isotropy classes of SO(3)-representation on the space of second and fourth order harmonic tensors in mechanics are given by polynomial equations, which make them algebraic sets. Furthermore, we prove a theorem in invariant theory, about the rationality of invariants for compact Lie group representations. More specifically, for any representation of a compact Lie group G on a real vector space V and for any isotropy group H, any polynomial invariant of the representation of the normalizer N(H) on the fixed point set V^H is indeed the restriction on V^H of a rational invariant of the initial representation of G on V. The latter assertion was already known under some restrictive conditions, such as in the case of algebraically closed fields and generic isotropies. In this work, the results are proven over ℝ and with no further conditions. In a second time, an effective method for determining the isotropy classes for reducible representations is proposed. This method is based on a binary operation between conjugacy classes of closed subgroups of a compact group, which has been introduced to obtain the isotropy classes of a direct sum of representations, if the isotropy classes are known for the irreducible factors. In the specific case of the three dimensional orthogonal group O(3), clips between some types of subgroups of O(3) have already been calculated. However, ntil now, clips between type II and type III subgroups were missing. Those are encountered in 3D coupled constitutive laws. In this thesis, we complete the clips tables by computing the missing clips. As an application, we obtain 25 isotropy classes for the standard O(3)-representation on the full 3D Piezoelectric law, which involves the three elasticity, piezoelectricity and permittivity constitutive tensors. Another problem that has been encountered many times in mechanics is solved in this work using algebraic methods: given an experimental material with no specific isotropy, it is interesting to determine the closest isotropy of a contitutive tensor for this material. To solve such a problem, we used methods of polynomial optimization taking advantage of the characterization of the isotropy classes by polynomial covariants. Two polynomial optimization methods are presented to solve this question and applied to some constitutive laws in mechanics such as elasticity and piezoelectricity laws: one makes use of some effective algorithm based on real algebraic geometry and theory of moments and the other one is an explicit calculation of critical points by an algebraic method called Euler-Lagrange method.
Cette étude tourne autour des représentations linéaires des groupes de Lie compacts et de l'étude des classes d'isotropie de ces représentations. La motivation initiale de ce travail réside dans la résolution de certains problèmes en mécanique des matériaux où des représentations de groupes compacts, tels que les sous-groupes de O(3), sont impliqués. Les classes d'isotropie des représentations de groupes sont connues pour être des ensembles semialgébriques caractérisés par des inégalités d'invariants polynomiaux. Dans cette thèse, nous prouvons que pour toute représentation d'un groupe de Lie compact, les classes d'isotropie fermées sont des ensembles algébriques. Ceci est motivé par de nombreux exemples en mécanique. Par exemple, les classes d'isotropie de la représentation de SO(3) sur l'espace des tenseurs harmoniques d'ordre 2 et 4 en mécanique sont données par des équations polynomiales, ce qui en fait des ensembles algébriques. De plus, nous prouvons un résultat en théorie des invariants, concernant la rationalité des invariants pour les représentations des groupes de Lie compacts. Plus précisément, pour toute représentation d'un groupe de Lie compact G sur un espace vectoriel réel V et pour tout groupe d'isotropie H, tout invariant polynomial de la représentation du normalisateur N(H) sur l'ensemble des points fixes V^H est bien la restriction sur V^H d'un invariant rationnel de la représentation initiale de G sur V. Cette dernière affirmation était déjà connue sous certaines conditions restrictives, comme dans le cas de corps algébriquement clos et d'isotropies génériques. Dans ce travail, les résultats sont prouvés sur ℝ et sans autres conditions. Dans un deuxième temps, une méthode pour déterminer les classes d'isotropie pour les représentations réductibles est proposée. Cette méthode est basée sur une opération binaire entre les classes de conjugaison des sous-groupes fermés d'un groupe compact, qui a été introduite pour obtenir les classes d'isotropie d'une somme directe de représentations, si les classes d'isotropie sont connues pour les facteurs irréductibles. Dans le cas spécifique du groupe orthogonal tridimensionnel O(3), les clips entre certains types de sous-groupes de O(3) ont déjà été calculés. Cependant, jusqu'à présent, il manquait les clips entre les sous-groupes de type II et de type III. Ceux-ci apparaissent dans les lois constitutives couplées en 3D. Dans cette thèse, nous complétons les tables de clips en calculant les clips manquants. Comme application, nous obtenons 25 classes d'isotropie pour la représentation standard O(3) sur la loi piézoélectrique 3D complète, qui implique les trois tenseurs constitutifs d'élasticité, de piézoélectricité et de permittivité. Un autre problème rencontré à de nombreuses reprises en mécanique est résolu dans ce travail en utilisant des méthodes algébriques : étant donné un matériau expérimental sans isotropie spécifique, il est intéressant de déterminer l'isotropie la plus proche d'un tenseur constitutif pour ce matériau. Pour résoudre un tel problème, nous avons utilisé des méthodes d'optimisation polynomiale en tirant profit de la caractérisation des classes d'isotropie par des covariants polynomiaux. Deux méthodes d'optimisation polynomiale sont présentées pour résoudre cette question et appliquées à certaines lois constitutives en mécanique telles que les lois d'élasticité et de piézoélectricité : l'une utilise un algorithme effectif basé sur la géométrie algébrique réelle et la théorie des moments et l'autre est un calcul explicite des points critiques par une méthode algébrique appelée méthode d'Euler-Lagrange.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04097345 , version 1 (15-05-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04097345 , version 1

Citer

Perla Azzi. Geometry of isotropy classes for representation of groups with applications in Mechanics of Materials. Algebraic Geometry [math.AG]. Sorbonne Université, 2023. English. ⟨NNT : 2023SORUS071⟩. ⟨tel-04097345⟩
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