Integrable systems, Frobenius manifolds and cohomological field theories
Systèmes intégrables, variétés de Frobenius et théories cohomologiques des champs
Résumé
In this dissertation, we study the underlying geometry of integrable systems, in particular tausymmetric bi-Hamiltonian hierarchies of evolutionary PDEs and differential-difference equations.First, we explore the close connection between the realms of integrable systems and algebraic geometry by giving a new proof of the Witten conjecture, which constructs the string taufunction of the Korteweg-de Vries hierarchy via intersection theory of the moduli spaces of stable curves with marked points. This novel proof is based on the geometry of double ramification cycles, tautological classes whose behavior under pullbacks of the forgetful and gluing maps facilitate the computation of intersection numbers of psi classes.Second, we examine the Dubrovin-Zhang hierarchy, an integrable system constructed from a Frobenius manifold by deforming its associated pencil of Poisson structures of hydrodynamic type. This integrable hierarchy was proved to be Hamiltonian and tau-symmetric, and conjectured to be bi-Hamiltonian. We prove a vanishing theorem for the negative degree terms of the second Poisson bracket, thus providing strong evidence to support this conjecture. The proof of this theorem demonstrates the implications the bi-Hamiltonian recursion relation and tautological relations in the cohomology rings of the moduli spaces of stable curves have on the bi-Hamiltonian structure of the Dubrovin-Zhang hierarchies.Third, we propose a conjectural formula for the simplest non-trivial product of doubleramification cycles DR_g(1,1)lambda_g in terms of cohomology classes represented by standard strata. Although there are known formulas relating double ramification cycles to other, more natural tautological classes, they are much more complicated than the one conjectured here. This conjecture refines the one point case of the Buryak-Guéré-Rossi conjectural tautological relations, which are equivalent to the existence of a Miura transformation relating Buryak's double ramification hierarchies and the Dubrovin-Zhang ones.Finally, we analyze the differential geometry of (2 + 1) integrable systems through infinitedimensional Frobenius manifolds. More concretely, we study, both formally and analytically, the Dubrovin equation of the 2D Toda Frobenius manifold at its irregular singularity. The fact that it is infinite-dimensional implies a qualitatively different behavior than its finite-dimensional analogue, the Frobenius manifold underlying the extended Toda hierarchy. The two most remarkable differences are non-uniqueness of formal solutions to the Dubrovin equation and non-completeness of the analytic ones. These features together greatly complicate the analysis of Stokes phenomenon, which we perform by splitting the space of solutions into infinitely many two-dimensional subspaces.
Dans cette thèse, nous étudions la géométrie sous-jacente des systèmes intégrables. Nous nous intéressons particulièrement aux hiérarchies d'EDPs d'évolution, tau-symétriques et bi-Hamiltoniennes.D'abord, nous explorons la relation étroite entre les champs des systèmes intégrables et la géométrie algébrique en donnant une nouvelle démonstration de la conjecture de Witten, qui construit la string tau-fonction de la hiérarchie de Korteweg-de Vries par théorie d'intersection des espaces de modules des courbes stables avec des points marqués. Cette nouvelle démonstration se base sur la géométrie des cycles de ramification double, des classes tautologiques dont le comportement sous des pullbacks des applications forgetful et gluing facilitent le calcul des nombres d'intersection des psi classes.Dans un deuxième temps, nous examinons la hiérarchie de Dubrovin et Zhang, un système intégrable construit en déformant la structure bi-Hamiltonienne de type hydrodynamique associée à une variété de Frobenius. Cette hiérarchie intégrable est Hamiltonienne et tau-symétrique, et est conjecturée bi-Hamiltonienne. Nous démontrons un théorème d'annulation des termes de degrés négatifs du deuxième crochet de Poisson qui fournit des preuves fortes pour soutenir cette conjecture. La démonstration de ce théorème illustre les implications que la récursivité bi-Hamiltonienne et les relations tautologiques en cohomologie des espaces de modules des courbes stables ont sur la structure bi-Hamiltonienne des hiérarchies de Dubrovin et Zhang.Dans un troisième temps, nous conjecturons une formule pour le plus simple des produits non triviaux des cycles de ramification double DR_g(1,1)lambda_g en termes des classes de cohomologie réprésentées par les strates standards. Malgré l'existence de formules qui mettent en relation des cycles de ramification double avec autres classes tautologiques plus naturelles, elles sont beaucoup plus compliquées que celle proposée ici. Cette conjecture précise dans le cas d'un point les relations tautologiques conjecturales de Buryak, Guéré et Rossi, qui sont équivalentes à l'existence d'une transformation de Miura qui relie la hiérarchie de ramification double de Buryak et celle de Dubrovin et Zhang.Finalement, nous analysons la géométrie différentielle des systèmes intégrables en (2 + 1) dimensions par variétés de Frobenius de dimension infinie. Plus concrètement, nous étudions, formèlement et analytiquement, l'équation de Dubrovin de la variété de Frobenius de la hiérarchie de Toda bidimensionnelle à sa singularité irrégulière. Le fait qu'elle est de dimension infinie implique un comportement qualitativement différent de celui de son analogue en dimension finie, la variété de Frobenius sous-jacente à la hiérarchie de Toda élargie. Les deux différences les plus rémarcables sont que les solutions formèles de l'équation de Dubrovin ne sont pas uniques et que les solutions analytiques ne forment pas un système complet. Conjointement ces deux caractéristiques compliquent l'analyse du phénomène de Stokes, que nous réalisons en divisant l'espace des solutions en une infinité des sous-espaces de dimension deux.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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