Non-archimedean aspects of the SYZ conjecture
Aspects non-archimédiens de la conjecture SYZ
Résumé
We define a class of plurisubharmonic metrics on the hybrid space X^hyb associatedto a polarized degeneration (X,L) of complex manifolds over the punctured disk.Such a psh metric induces by restriction a psh metric on L in the usual sense, aswell as a psh metric on the non-archimedean analytification X^an of X with respectto the t-adic absolute value on C((t)). We prove that any complex psh metric on(X, L) admits a canonical plurisubharmonic extension to the hybrid space X^hyb. Wealso focus on the case of a complex polarized toric variety (Z, L), where we providea combinatorial description of continuous plurisubharmonic hybrid toric metrics onL.We then study maximal degenerations X/D∗ of Calabi-Yau manifolds, with the goalof constructing a non-archimedean avatar rho : X^an → Sk(X) of the conjectural SYZfibration on the complex fibers. To that extend, we study the integral affine structures induced on the skeleton Sk(X) by the Berkovich retraction rho_X associatedto a good dlt R-model of X. This allows us to construct, in the case of degenerations of hypersurfaces, a non-archimedean SYZ fibration inducing on Sk(X) theintegral affine structure predicted by the Gross-Siebert program. When the familyof hypersurfaces is the Fermat one, we furthermore prove that the non-archimedeanCalabi-Yau metric is invariant under this retraction.Finally, we consider degenerations of canonically polarized manifolds and computethe non-archimedean limit of the family of Kähler-Einstein metrics inside the asso-ciated hybrid space.
Nous définissons une classe de métriques plurisousharmoniques sur l’espace hybride X^hyb associé à une dégénérescence polarisée (X,L) de variétés complexes. Une telle métrique hybride induit une métrique psh sur L au sens usuel, ainsi qu’une métrique psh sur l’analytification non-archimédienne X^an de X par rapport à la valeur absolue t-adique sur C((t)).Nous démontrons que toute métrique plurisousharmonique complexe sur (X, L) admet une extension canonique à l’espace hybride X^hyb. Nousétudions en particulier le cas où (Z, L) est une variété torique polarisée, où nous donnons une description combinatoire des métriques toriques hybrides continues psh sur L.Nous étudions ensuite les dégénérescences maximales X/D∗ de variétés de Calabi-Yau, dans le but de produire une incarnation non-archimédienne rho : X^an → Sk(X)de la fibration SYZ conjecturale. Pour ce faire, nous tentons dans un premier tempsde comprendre la structure affine entière induite sur le squelette Sk(X) par la ré-traction de Berkovich rho_X associée à un bon R-modèle dlt de X. Cela nous permet de construire, dans le cas des dégénérescences d’hypersurfaces, une fibration SYZ non-archimédienne induisant sur Sk(X) la structure affine entière prédite par le programme de Gross-Siebert.Lorsque la famille est celle des hypersurfaces de Fermat, nous montrons en outre que la métrique de Calabi-Yau non-archimédienne est invariante par cette rétraction.Enfin, nous considérons une dégénérescence de variétés canoniquement polarisées et calculons la limite non-archimédienne de la famille des métriques de Kähler-Einstein dans l’espace hybride associé.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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