Statistical mechanics models via the lens of potential theory - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Statistical mechanics models via the lens of potential theory

Autour des modèles en mécanique statistique du point de vue de la théorie du potentiel

Résumé

This thesis contributes to the understanding of some statistical mechanics models and their large-scale limits, mainly using the asymptotic behavior of Green's function appearing in these models. In the first part, we are interested in random walks. We establish the convergence for the loop-erasure of two-dimensional random walks with killing to the so-called massive SLE₂ curves. This generalizes the celebrated result of Lawler, Schramm and Werner for standard loop-erased random walks. Then we investigated the branching random walks, obtaining the asymptotics of its capacity above and at the critical dimension. Another direction of our research is the closely related planar Ising and bipartite dimer models. By perturbing the temperature for the Ising model away from the criticality, we associate to it a family of massive dimer weights and obtain the convergence of correlations of the Ising energy density field and the gradient field of the height functions in the dimer model on hedgehog domains. We also proved a super-exponential decay of the crossing probability for simple conformal loop ensembles. This was a missing ingredient in the proof of convergence of the double-dimer loop ensembles to CLE₄ in terms of probabilities of macroscopic topological events, hence our result implies such convergence.
Cette thèse porte sur certains modèles de mécanique statistique et de leurs limites à grande échelle, en utilisant principalement l'analyse asymptotique de la fonction de Green apparaissant dans ces modèles. Dans la première partie, nous nous intéressons aux marches aléatoires. Nous établissons la convergence des marches aléatoires massives à boucles effacées vers les SLE₂ massifs. Ceci généralise le résultat célèbre de Lawler, Schramm et Werner pour les marches aléatoires à boucles effacées. Nous avons ensuite étudié les marches aléatoires branchantes, en obtenant l'asymptotique de leur capacité au-dessus et à la dimension critique. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons au modèle d'Ising et de dimères bipartites, qui sont étroitement liés. En perturbant la température du modèle d'Ising de la criticité, nous lui associons une famille de poids massifs de dimères et obtenons la convergence pour les corrélations de densité d'énergie dans le modèle d'Ising et les corrélations des gradients des fluctuations des fonctions de hauteurs dans le modèle de dimères. Nous avons également prouvé une décroissance super-exponentielle des probabilités de croisement pour les ensembles de boucles conformes simples. Il s'agissait d'un ingrédient manquant dans la preuve de la convergence des ensembles de boucles double-dimères vers CLE₄ en termes de probabilités d'événements topologiques macroscopiques.
Fichier principal
Vignette du fichier
112377_WAN_2022_archivage.pdf (1.91 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04140267 , version 1 (25-06-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04140267 , version 1

Citer

Yijun Wan. Statistical mechanics models via the lens of potential theory. Probability [math.PR]. Université Paris-Saclay, 2022. English. ⟨NNT : 2022UPASM022⟩. ⟨tel-04140267⟩
33 Consultations
29 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More