Application of non-commutative variables to computer algebra in non-linear statistics
Application des variables non commutatives à des calculs formels en statistique non linéaire
Résumé
Nonlinear differential equations in the forced regime are often encountered in automatic control, signal theory, electronics and, of course, physics; they lead to many poorly dominated problems, such as :
- the actual calculation of the kernels of the Volterra series associated with the solution (Cf. Barrett [32], Brockett [B7], Gilbert [G1], etc ...)
- calculation of output moments when the input is a stochastic process such as white Gaussian noise (Cf. Kuznetsov et al. [K2], Wilcox et al. [W1], etc ...)
- the study of the secular terms of the perturbative development of the solution when the input is periodic (Cf. Uzes [U1]).
We have approached these questions in the context of formal calculus, where this expression is understood in the sense it has in computer science, i.e., by algebraic manipulations that can be contrasted, to a certain extent, with numerical analysis methods. It is well known that this problematic is enjoying a certain boom (Cf. [E2]) but that, when it comes to the non-linear domain, almost everything remains to be done, despite certain needs (Cf. Fitch "A Survey of symbolic computation in physics" [F2]).
The aim of this thesis is to find, using non-commutative variables, simple algorithms giving certain functional developments of the moments of the output of a nonlinear differential system attacked by Gaussian white noise. The actual computations involved are based on the combinatorics of the free monoid, the importance of which in computer science has been known since the work of Professor M.P. Schützenberger and his school.
In Chapter I, we give a brief introduction to non-commutative generating series.
In Chapter II, we describe an algorithm for obtaining an expansion at the origin of the moments, stationary or not, of the solution of the system driven by Gaussian white noise. We emphasize the primarily algebraic character of the methods used, and their deep connection with combinatorial techniques as employed by many computer scientists.
In the appendix, we present some remarkable arithmetic properties of the numerical coefficients obtained in calculating the terms of functional expansions. We do not know how to explain their mathematical properties, but it seems possible that a precise understanding should be sought in connection with recent combinatorial work by Messrs Flajolet, Foata, Viennot and Vuillemin, among others, whose important applications in certain branches of computer science are already well known.
Les équations différentielles non linéaires en régime forcé se rencontrent souvent en automatique comme en théorie du signal, électronique et aussi, bien entendu, en physique ; elles conduisent à de nombreux problèmes mal dominés comme par exemple :
- le calcul effectif des noyaux de la série de Volterra associée à la solution (Cf. Barrett [32], Brockett [B7], Gilbert [G1], etc ...)
- le calcul des moments de la sortie lorsque l ’entrée est un processus stochastique comme le bruit blanc gaussien (Cf. Kuznetsov et al. [K2], Wilcox et al. [W1], etc ...)
- l ’étude des termes séculaires du développement perturbatif de la solution lorsque l ’entrée est périodique (Cf. Uzes [U1]).
Nous avons abordé ces questions dans le cadre du calcul formel où cette expression est entendue au sens qu’elle a en informatique c'est-aà-dire, par des manipulations algébriques que l’on peut opposer, dans une certaine mesure aux méthodes d’analyse numérique. On sait que cette problématique connaît un essor certain (Cf. [E2]) mais que, lors qu’il s’agit du domaine non linéaire, tout reste quasiment à faire, en dépit de besoins certains (Cf. Fitch ”A Survey of symbolic computation in physics" [F2]).
L’objet de cette thèse est de trouver, en utilisant les variables non commutatives, des algorithmes simples donnant certains développements fonctionnels des moments de la sortie d’un système différentiel non linéaire attaqué par un bruit blanc gaussien. Les calculs effectifs auxquels on aboutit, ressortent de la combinatoire du monoïde libre dont l ’importance en informatique est connue depuis les travaux du Professeur M.P. Schützenberger et de son école.
Dans le chapitre I, nous présentons rapidement les séries génératrices non commutatives.
Au chapitre II, nous dormons un algorithme permettant d'obtenir un développement à l'origine des moments, stationnaires ou non, de la solution du système piloté par des bruits blancs gaussiens. Insistons encore sur le caractère avant tout algébrique des méthodes utilisées et sur leur lien profond avec les techniques combinatoires telles qu'elles sont employées par maints informaticiens.
En appendice, nous exhibons certaines propriétés arithmétiques remarquables des coefficients numériques obtenus dans le calcul des termes des développements fonctionnels. Nous ne savons pas en expliquer les propriétés mathématiques mais il nous semble possible qu’une compréhension précise doit être recherchée en liaison avec des travaux combinatoires récents dus entre autre à Messieurs Flajolet, Foata, Viennot et Vuillemin dont on connaît déjà les importantes applications dans certaines branches d’informatique.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|