Regularity and stability in shape optimization under geometric constraint - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Regularity and stability in shape optimization under geometric constraint

Régularité et stabilité en optimisation de forme sous contrainte géométrique

Résumé

This thesis deals with studying and proving stability of the ball for shape optimization problems in certain classes of shapes. We focus in particular on isoperimetric and Faber-Krahn type minimizations, and the goal is therefore to show that the ball remains a minimizer of some given perturbations of the problem of minimizing the perimeter on the one hand, and of the 1st Dirichlet eigenvalue on the other hand, both times at fixed volume. In order to prove stability, the main tool of this thesis consists of the following standard two steps strategy: proving stability for smooth perturbations of the ball first, and then proving stability for all shapes. For achieving these two steps, we are led to give a particular attention to the issues of (i) regularity of optimal shapes and (ii) minimization with a convexity constraint. A first Chapter is dedicated to presenting the specific problems of the thesis. Chapter 2 constitutes our regularity results under convexity contraint. Chapter 3 consists of our stability results for isoperimetric problems. Chapter 4 contains the results we obtained concerning the stability of the Dirichlet spectrum of the ball.
Dans cette thèse on étudie la stabilité de la boule pour certains problèmes d'optimisation de forme. On se concentre en particulier sur des problèmes isopérimétriques et de type Faber-Krahn, et l'objectif est donc de montrer que la boule est toujours un minimum d'une certaine perturbation du problème de minimisation du périmètre d'une part, et de la 1ère valeur propre de Dirichlet d'autre part, à volume fixé. Pour démontrer la stabilité de la boule, on met en place la procédure classique suivante : on montre d'abord la stabilité de la boule pour des perturbations régulières pour montrer ensuite la stabilité en général. Dans cette perspective, on est amené a s'intéresser en particulier aux questions de (i) régularité des formes optimales et (ii) minimisation sous contrainte de convexité. Le Chapitre 1 est consacré à une presentation des problèmes spécifiques de la thèse. Le Chapitre 2 constitue nos résultats de régularité sous contrainte de convexité. Le Chapitre 3 est dédié à nos résultats de stabilité pour des problèmes isopérimétriques. Le Chapitre 4 contient les résultats que nous avons obtenus sur la stabilité du spectre de Dirichlet de la boule.
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PRUNIER_Raphael_these_2023.pdf (2 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04155961 , version 1 (07-07-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04155961 , version 1

Citer

Raphaël Prunier. Regularity and stability in shape optimization under geometric constraint. Optimization and Control [math.OC]. Sorbonne Université, 2023. English. ⟨NNT : 2023SORUS138⟩. ⟨tel-04155961⟩
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