Lavrentiev curves and singular integrals
Courbes de Lavrentiev et intégrales singulières
Résumé
The notion of a quasi-circle was introduced in 1963 by L. Ahlfors. A quasi-circle is a Jordan curve Γ such that, if A and B are two points of Γ and C is on the arc AB, we always have ||AC|| <= Cte||AB|||. Ahlfors showed that quasi-circles are the images of the real line by quasi-conformal bijections of C (hence their name). The notion of a quasi-circle has proved productive.
We're going to look at a slightly more restricted class of curves, introduced by Lavrentiev: Lavrentiev curves, or rope-arc curves. A rectifiable Jordan curve Γ satisfies a string-arc condition (or, more simply, is string-arc) if there exists a constant C such that, for any pair (A,B) of points in Γ, the length of the arc AB (we take the shortest if Γ is closed) is less than C times the distance ||AB||.
The chord-arc constant of Γ will be the smallest of the constants C such that we have this inequality.
La notion de quasi-cercle a été introduite en 1963 par L. Ahlfors. Un quasi-cercle est une courbe de Jordan Γ telle que, si A et B sont deux points de Γ et si C est sur l'arc AB, on ait toujours ||AC|| <= Cte|||AB||. Ahlfors a montré que les quasi-cercles sont les images de la droite réelle par les bijections quasi-conformes de C (d'où leur nom). La notion de quasi-cercle s'est révélée productive.
Nous allons étudier une classe un peu plus restreinte de courbes, introduite par Lavrentiev : les courbes de Lavrentiev, ou courbes corde-arc. Une courbe de Jordan rectifiable Γ satisfait à une condition corde-arc (ou plus simplement est corde-arc) s'il existe une constante C telle que, pour tout couple (A,B) de points de Γ, la longueur de l'arc AB (on prend le plus court si Γ est fermée) est inférieure à C fois la distance ||AB||.
La constante corde-arc de Γ sera la plus petite des constantes C telles que l'on ait cette inégalité.
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