Volterra series and singular optimal control
Séries de Volterra et commande optimale singulière
Abstract
This thesis presents a new context for an important class of optimal control problems based on Volterra series. These so-called singular problems, common in practice, arise as soon as the Maximum Principle is trivially satisfied on a portion of a trajectory.
First, we recall how to express the Taylor development of Volterra kernels from the Lie brackets of vector fields. The formulas thus obtained are then naturally interpreted from the Hamiltonian of the system, the first kernel thanks to symplectic geometry, the following ones in terms of functional derivations.
New definitions of the order of an arc are given, without directly involving the adjoint vector; these definitions then remain valid for control problems with terminal constraints without making the normality assumption. The classical necessary optimality conditions are simply found, others are proposed and all receive a Hamiltonian translation.
The results are applied to various real-life examples.
Cette thèse présente un contexte nouveau pour une classe importante de problèmes de commande optimale à partir des séries de Volterra. Ces problêmes, appelés singuliers, courants dans la pratique, apparaissent dès que le Principe du Maximum est trivialement satisfait sur une portion de trajectoire.
On rappelle tout d'abord comment s'exprime le développement de Taylor des noyaux de Volterra à partir des crochets de Lie de champs de vecteurs. Les formules ainsi obtenues sont alors naturellement interprétées à partir de l'hamiltonien du système, le premier noyau grâce à la géométrie symplectique, les suivants en terme de dérivations fonctionnelles.
De nouvelles définitions d'ordre d'un arc sont données, sans faire directement intervenir le vecteur adjoint ; ces définitions restent alors valables pour des problèmes de commande avec des contraintes terminales sans faire l'hypothèse de normalité. Les conditions nécessaires d'optimalité classiques se retrouvent simplement, d'autres sont proposées et reçoivent toutes une traduction hamiltonienne.
Les résultats sont appliqués à divers exemples issus de la pratique.
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