p-adic representations and nearby local bodies
Représentations p-adiques et corps locaux proches
Résumé
This thesis consists of five chapters, all dealing with questions related to the theory of representations of GLn(F) (where F is a local field of positive characteristic with a finite residual field).
Chapter 1. Hecke algebras and nearby local bodies. We prove, for the linear group, a more precise variant of D. Kazhdan's result (stated by him in a more general framework) concerning isomorphisms of Hecke algebras relative to a fixed congruence subgroup.
Chapter 2: We show that the isomorphisms of Hecke algebras constructed in Chapter 1 preserve the generic representations and their conductor.
Chapter 3: Orbital integrals on GLn(F). A number of basic results of the theory (descent statements, development into germs and their independence, characterization and density theorems, etc.) are given quite carefully. In a more original way, the treatment of inseparable elements leads us to produce (the construction is explicit) a normalization inducing locally constant orbital integrals on Dixmier sheets.
Chapter 4. A proof of Howe's conjecture for GLn(F). We proceed by comparison with the null characteristic, where the result is shown by L. Clozel (incidentally for any reductive group), thanks to the isomorphisms of Hecke algebras in Chapter 1. The crucial point is the "uniform" raising of elliptic orbital integrals from characteristic > 0 to characteristic zero.
Chapter 5. Proof of the local integrability of characters in GLn(F).
Cette thèse est composée de cinq chapitres, traitant tous de questions liées à la théorie des représentations de GLn(F) où F est un corps local de caractéristique positive à corps résiduel fini).
Chapitre 1. Algèbres de Hecke et corps locaux proches. On prouve, pour le groupe linéaire, une variante plus précise du résultat de D. Kazhdan (énoncé par lui dans un cadre plus général) concernant les isomorphismes d'algèbres de Hecke relatives à un sous-groupe de congruence fixé.
Chapitre 2. On montre que les isomorphismes d'algèbres de Hecke construits dans le chapitre 1 préservent les représentations génériques ainsi que leur conducteur.
Chapitre 3. Intégrales orbitales sur GLn(F). Nous donnons une rédaction assez soigneuse d'un certain nombre de résultats de base de la théorie (énoncés de descente, développement en germes et leur indépendance, théorèmes de caractérisation et de densité, etc.). De manière plus originale, le traitement des éléments inséparables nous conduit a produire (la construction est explicite) une normalisation induisant des intégrales orbitales localement constantes sur les nappes de Dixmier.
Chapitre 4. Une preuve de la conjecture de Howe pour GLn(F). On procède par comparaison avec la caractéristique nulle, où le résultat est montré par L. Clozel (d'ailleurs pour n'importe quel groupe réductif), grâce aux isomorphismes d'algèbres de Hecke du chapitre 1. Le point crucial consiste en un relèvement "uniforme" des intégrales orbitales elliptiques de la caractéristique > 0 à la caractéristique nulle.
Chapitre 5. Preuve de l'intégrabilité locale des caractères de GLn(F).
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