The l-adic representations associated with elliptic curves defined on Qp
Les représentations l-adiques associées aux courbes elliptiques définies sur Qp
Résumé
This thesis is devoted to the study of the l-adic representations of the absolute Galois group G of Qp, p > 5, associated to an elliptic curve over Qp, as I runs through the set of all prime numbers (including l = p, in which case we use the theory of potentially semi-stable p-adic representations).
For each prime l, we give the complete list of isomorphism classes of Ql[[G]-modules coming from an elliptic curve over Qp, that is, those which are isomorphic to the Tate module of an elliptic curve over Qp. The l = p case is the more delicate. It requires studying the liftings of a given elliptic curve over Fp to an elliptic scheme over the ring of integers of a totally ramified finite extension of Qp, and combining it with a descent theorem providing a Galois criterion for an elliptic curve having good reduction over a p-adic field to be defined over a closed subfield. This enables us to state necessary and sufficient conditions for an l-adic representation of G to come from an elliptic curve over Qp , for each prime l.
Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations l-adiques du groupe de Galois absolu G de Qp, p ≥ 5, associées à une courbe elliptique définie sur Qp, lorsque l parcourt l'ensemble de tous les nombres premiers (y compris l = p, auquel cas on utilise la théorie des représentations p-adiques potentiellement semi-stables).
Pour chaque premier l, on donne la liste complète des classes d'isomorphisme de Ql[G]-modules provenant d'une courbe elliptique sur Qp, c'est-à-dire ceux qui sont isomorphes au module de Tate d'une courbe elliptique sur Qp. Le cas où l = p est le plus délicat à traiter. Il nécessite l'étude des relèvements d'une courbe elliptique sur Fp en un schéma elliptique sur l'anneau des entiers d'une extension finie totalement ramifiée de Qp, combinée à un théorème de descente qui fournit un critère galoisien pour qu'une courbe elliptique ayant bonne réduction sur un corps p-adique puisse être définie sur un sous-corps fermé. Ce travail permet d'énoncer, pour chaque premier l, des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une représentation l-adique de G provienne d'une courbe elliptique sur Qp.
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