Variational and optimal transport problems in L∞
Problèmes variationnels et de transport optimal L∞
Résumé
In this thesis we investigate some properties of solutions of L∞-variational and transport problems. This manuscript is divided into two parts. The first part, made up of Chapter 2 and Chapter 3, deals with a supremal variational problem. Supremal variational problems appeared for the first time in the late 60s in the pioneering works of Aronsson [7, 8, 9]. Due to the nature of the L∞-norm, the interesting minimizers are the so-called absolute minimizers (AM), which often happen to be solutions of anassociated PDE and to have uniqueness and regularity properties. In Chapter 2 we investigate the problem associated to a quasi convex continuous supremand (x, p) 7 → H(x, p). Notably, we show a new optimality property for u ∈AM and provea structure result for the set of points x where H(x, Du(x)) = max H(x, Du(x)). In Chapter 3 we insert the supremal variational problem in the framework of problems with constraints on the gradient, proving C1 regularity of the absolute minimizers on the above mentioned set.In the second part, which consists of Chapter 4 and Chapter 5, we are interested in the L∞-optimal transport problem(L∞-OT), studied for the first time by Champion, De Pascale, and Juutinen in 2007 [47]. An original contribution, presented in Chapter 4, is the proof that the restrictable (optimal) plans (the analogous of AM) are concentrated on a graph,if the cost function is strictly quasi convex and satisfies a property similar to the classical the twist condition. Moreover, we prove uniqueness in the case of a discrete target measure.The L∞-OT is a non-convex problem, presumably more difficult than the classical OT. In order to have a better under-standing, seeking for a generalization to this setting of the entropic approximation seems quite natural. With this intent,in Chapter 5, we provide a regularization which guarantees the Γ-convergence to the not regularized L∞-OT problem. Remarkably, we show that minimizers of the approximating functionals select restrictable optimal plans. Finally we prove some estimates on the speed of convergence and present some numerical illustrations performed with Sinkhorn’s algorithm.
Dans cette thèse on étudie certaines propriétés des solutions de problèmes variationnels et de transport L∞. Ce manuscrit est divisé en deux parties. La première partie, composée du Chapitre 2 et du Chapitre 3, traite d’un problème variationnel suprémal. Les problèmes variationnels suprémaux sont apparus pour la première fois à la fin des années 60 dans les travaux pionniers d’Aronsson [7, 8, 9]. En raison de la nature de la norme L∞, les minimiseurs intéressants sont les minimiseurs dits absolus (AM), qui sont souvent solutions d’une EDP associée et ont des propriétés d’unicité et de régularité. À la lumière de ces considérations, dans le Chapitre 2 nous analysons le problème associé à une fonctionnelle continue quasi convexe(x, p) 7 → H(x, p). Nous montrons notamment une nouvelle propriété d’optimalité pour u ∈AM et prouvons un résultat de structure pour l’ensemble des points x où H(x, Du(x)) = max H(x, Du(x)).Dans le Chapitre 3, nous restituons le problème variationel dans le cadre des problèmes avec contraintes sur le gradient, en prouvant la régularité C1 des minimiseurs absolus sur l’ensemble mentionné ci-dessus. Dans la deuxième partie, qui comprend le Chapitre 4 et le Chapitre 5, on s’intéresse au problème de transport optimal L∞, étudié pour la première fois par Champion, De Pascale, et Juutinen en 2007 [47]. Une contribution originale, présentée dans le Chapitre 4, est la preuve que les plans optimaux dits restreignables (restrictable) (l’analogue de AM) sont concentrés sur un graphe, si la fonction de coût est strictement quasi convexe et satisfait une propriété similaire à la condition classique de twist. De plus, nous prouvons l’unicité dans le cas d’une mesure cible discrète. Le problème de transport optimal L∞ est non convexe, donc vraisemblablement plus complexe que le problème de transport classique. Afin d’avoir une meilleure compréhension, il semble naturel de chercher une généralisation à ce cadre de l’approximation entropique. Dans ce but, dans le Chapitre 5, nous introduisons une régularisation qui garantit la Γ-convergence vers le problème de transport L∞. En particulier, nous montrons que les minimisateurs des fonctionnelles régularisées sélectionnent des plans optimaux restrictable. Enfin, nous prouvons quelques estimations sur la vitesse de convergence et présentons quelques illustrations numériques réalisées avec l’algorithme de Sinkhorn.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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