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Thèse Année : 2023

Confined random walks : explored territory and jump processes

Marches aléatoires en confinement : territoire exploré et processus de saut

Jérémie Klinger
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1281773
  • IdRef : 271833017

Résumé

Random transport phenomena are ubiquitous in physical systems, spanning all temporal and spatial scales and occurring in diverse fields, from biology to mechanics. Examples include the diffusion of photons in a heterogeneous medium, the motion of a molecular motor along a DNA strand, and the evolution of financial assets. Understanding these phenomena is crucial to answering practical questions such as the probability of the stock market price reaching a certain threshold, the speed of genetic transcription, and the distribution of waiting time between earthquakes in a region with known seismic history. To correctly model these phenomena and provide concrete answers to such pragmatic questions, it is necessary to identify a precise stochastic process that accounts for the observed random dynamics and define a statistical observable that allows us to draw physical conclusions. As an example, the time of the first passage time of a 2D Brownian motion on a target can be a good model for the time taken by a polymer to cyclize. Based on this distinction, this thesis is organized into two distinct parts. In the first part, we focus on a specific observable, the territory visited by a random walk in a confining domain before reaching the exit of the domain. This new observable, which quantifies the efficiency of the exploration process in confinement, has strong applicative interest in the context of diffusion-limited chemical reactions in closed reactors, but has received little attention. In this thesis, we develop a methodology to evaluate its statistics, which is valid for the broadest possible class of stochastic processes, including normal and anomalous diffusion processes such as diffusion on fractal graphs. On the other hand, the second part of this thesis is dedicated to a specific type of stochastic process: one-dimensional jump processes that describe the motion of a particle making independent and identically distributed jumps at each discrete time step. Although these processes are well understood in infinite and semi-infinite media (i.e., stopped at their first passage through 0), there are no general results for jump processes confined to an interval. To provide a preliminary answer to these questions, we consider the limit of a large interval and demonstrate that observables related to the exit of the interval, such as the exit time, display a universal form, valid for any symmetric jump distribution, and independant of the jump distribution details.
Omniprésent dans les systèmes physiques, les phénomènes de transport aléatoire s'observent à toutes les échelles temporelles et spatiales, et dans tous les domaines, de la biologie à la mécanique. La diffusion de photons dans un milieu hétérogène, le mouvement d'un moteur moléculaire le long d'un brin d'ADN, l'évolution d'un actif financier... sont autant de phénomènes qui peuvent être décrits par un mouvement aléatoire, et dont la compréhension est essentielle pour répondre à des questions très importantes en pratique. Par exemple, avec quelle probabilité le cours de la bourse atteint-il un certain seuil? A quelle vitesse la transcription génétique, responsable de la synthèse de protéines nécessaires au bon fonctionnement de l'organisme, s'effectue-t-elle? Ou encore quelle est la distribution du temps d'attente entre deux séismes connaissant l'historique sismique d'une région donnée? Pour correctement modéliser de tels phénomènes et apporter des réponses concrètes à ces interrogations pragmatiques, il est nécessaire d'identifier un processus stochastique précis rendant compte de la dynamique aléatoire observée, et de de définir une observable statistique, c'est à dire une quantité probabiliste que l'on va chercher à évaluer pour en tirer des conclusions physiques. A titre d'exemple, le temps de premier passage d'un mouvement brownien 2D sur une cible peut constituer un bon modèle pour rendre compte du temps mis par un polymère pour se cycliser. S'appuyant sur cette distinction, cette thèse s'organise en deux parties distinctes. Dans une première partie, nous nous focalisons sur une observable précise, le territoire visité par une marche aléatoire dans une domaine confinant avant d'atteindre la sortie du-dit domaine. Cette nouvelle observable, qui quantifie l'efficacité du processus d'exploration en confinement, présente un intérêt applicatif fort dans le cadre de réactions chimiques limitées par diffusion en réacteur fermé, mais semble avoir été peu étudiée. Nous développons dans cette thèse une méthodologie pour évaluer sa statistique, valable pour la classe de processus stochastique la plus vaste possible. Nos résultats s'appliquent aussi bien à la diffusion normale qu'à des processus de diffusion anormale, comme la diffusion sur graphes fractals par exemple. A l'inverse, la seconde partie de cette thèse ce focalise sur un unique processus stochastique : les processus de saut unidimensionnels, qui décrivent le mouvement d'une particule effectuant un saut aléatoire i.i.d. à chaque pas de temps discret. Si ceux-cis sont bien caractérisé en milieu infini et semi infini (c'est à dire stoppés dès leur premier passage à travers 0), il n'existe pas de résultats généraux pour des processus de sauts confinés dans un intervalle. Afin d'apporter une première réponse à ces question, nous considérons la limite de grand intervalle, et montrons que les observables liées à la sortie de l'intervalle, comme le temps de sortie par exemple, admettent une forme universelle valable pour toute distribution de saut symétrique.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04200115 , version 1 (08-09-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04200115 , version 1

Citer

Jérémie Klinger. Confined random walks : explored territory and jump processes. Physics [physics]. Sorbonne Université, 2023. English. ⟨NNT : 2023SORUS188⟩. ⟨tel-04200115⟩
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