Metastability in slowly time-dependent non-singular or singular stochastic PDEs
Métastabilité dans des EDP stochastiques lentement dépendantes du temps non singulières et singulières
Résumé
We consider slowly time-dependent stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by space-time white noise. These SPDEs are not always well-posed. On the one-dimensional torus, we show that this problem does not occur. We are interested in SPDEs subjected also to a time-periodic driving force which vanishes on three equilibrium branches, two of which come close to each other at particular times. We show the effect of stochastic resonance on the system: the dynamic changes when the noise intensity crosses a critical value. The probability that solutions of the SPDE make transitions between stable equilibria is exponentially small below the threshold, while for a larger noise intensity transitions happen with high probability. Concentration estimates of solutions are given in Sobolev norms. On the other hand, on the two-dimensional torus, the SPDEs are ill-defined and a renormalisation in the Wick sense is needed because space-time white noise is more singular in dimension two than in dimension one. We show that sample paths stay near stable equilibrium branches with high probability. This distance is measured in Besov and Hölder spaces. We discuss a case involving a pitchfork bifurcation characterized by a delay of the transition from the unstable to the stable state. The results on the one and two-dimensional torus generalise to an infinite-dimensional setting those obtained for finite-dimensional SDEs.
On considère des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) lentement dépendantes du temps soumises à un bruit blanc espace-temps. Ces EDPS ne sont pas toujours bien posées. On montre que sur le tore de dimension une, ce problème n'apparait pas. On s'intéresse à des EDPS soumises aussi à un forçage périodique en temps. Ce dernier s'annule en trois branches d'équilibres dont deux stables et une instable, qui s'approchent l'une de l'autre à un certain temps. On décrit l'effet de la résonance stochastique sur le système. On montre l'existence d'une intensité de bruit critique dépendante de la période du forçage et de la distance minimale entre les branches d'équilibres. Pour une intensité de bruit inférieure à l'intensité seuil, la probabilité que les solutions de l'EDPS passent d'un équilibre stable à l'autre est exponentiellement petite, tandis que ces transitions ont lieu avec une probabilité exponentiellement proche de 1 pour des intensités de bruit plus grandes. Les estimées de concentration des solutions sont données dans des normes de Sobolev. D'un autre côté, sur le tore de dimension deux, les EDPS ne sont pas bien définies et une renormalisation au sens de Wick est nécessaire pour définir une solution de l'équation. On donne des estimées de concentration des solutions dans des normes de Bessov et Hölder et on montre qu'elles sont concentrées avec grande probabilité près de la branche d'équilibre stable. Ensuite, on discute le cas où le système s'approche d'une bifurcation fourche où un phénomène intéressant a lieu : le retard à la bifurcation. Les résultats obtenus sont une généralisation à une dimension infinie de résultats obtenus pour des EDS en dimension finie.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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