Complexity and Robustness of Tilings with Random Perturbations
Complexité et robustesse des pavages avec perturbations aléatoires
Résumé
The central question of this thesis is that of the robustness to perturbations of tilings defined by local rules. Here, a tiling refers to a labelling of the grid ℤ^d by a finite alphabet, with neighbourhood rules determining which symbols can be juxtaposed, like puzzle pieces. When the number of rules is finite, we obtain a Subshift of Finite Type (or SFT). Starting from dimension d = 2, complex structures (aperiodic, hierarchical, self-similar) can appear for certain choices of local rules. The challenge is then to know to what extent these structures are preserved when a small proportion of perturbations is allowed. The challenge here is twofold. Firstly, for computer scientists, such structures can be used to encode computational models (i.e. computers) such as Turing machines. In information theory, it is natural to ask whether a signal can be transmitted in a noisy environment, and by extension whether it is physically possible to create a computational model that will produce correct results despite rare but inevitable localised faults. Secondly, for physicists, such structures are comparable to those of quasicrystals, materials that are highly ordered but have no crystalline (i.e. periodic) structure, and for which it is still difficult to propose a theoretical model explaining their formation. My work in this manuscript reflects and intertwines these two viewpoints. After some introductory chapters, the first thematic block concerns localised noise, independent from one cell to another. Here, the question is to know whether, globally, an admissible structure of high density occurs in the perturbed tilings (we will then speak of a stable structure). As is often the case, the problem in dimension d = 1 is treated separately, in which case it is possible to decide (algorithmically) whether a choice of rules leads to a stable system. In dimension d ≥ 2, examples of stable structures are proposed, first periodic, by exploiting their ultimately quite localised redundancy, then aperiodic, based on a variant of Robinson's aperiodic tiling (with a complex quasi-periodic structure emerging from simple rules). By implementing computations in this hierarchical structure, by reduction from other undecidable problems, it is shown that this question of stability is undecidable, and more precisely Π_2-hard in the arithmetic hierarchy. Finally, using computable analysis arguments on the space of probability measures on these perturbed tilings, a Π_4 upper bound on the complexity of stability is obtained. The second block adopts a more physical outlook, by associating to the local rules a potential inducing Gibbs measures. The quantity of perturbations is then related to a temperature parameter, which will also go to 0. Here, the local behaviour is studied (in the weak-* topology), and the question is no longer whether the system converges but to what limit(s). In the case d = 1, such potentials induce a single Gibbs measurement for any temperature, and this family of measurements converges when the temperature goes to 0. In dimension d ≥ 2, this is no longer the case, and there are such potentials for which the system is chaotic (it admits no convergent trajectory). Under an additional assumption of uniformity of the model, I prove here that the set of adherence values of the trajectories is at most Π_2-computable. Then, the optimality of this bound is established via a realisation result (up to a computable affine homeomorphism) of all Π_2-computable sets as accumulation points for some potential, encoding the necessary computations in structures that will vanish at the limit.
La question centrale de ce manuscrit est celle de la robustesse aux perturbations de pavages définis par règles locales. Ici, un pavage désigne un étiquetage de la grille ℤ^d par un alphabet fini, avec des règles de voisinage déterminant quels symboles peuvent être juxtaposés, à l'instar de pièces de puzzle. Lorsque le nombre de règles est fini, on parle de sous-décalage de type fini (ou Subshift of Finite Type en anglais, abrégé en SFT). Dès la dimension d = 2, des structures complexes (apériodiques, hiérarchiques, autosimilaires) peuvent apparaître pour certains choix de règles locales. L'enjeu est alors de savoir à quel point ces structures sont préservées lorsqu'une faible proportion de perturbations est autorisée. L'enjeu est ici double. D'une part, pour les informaticiens, de telles structures peuvent servir à encoder des modèles de calcul (i.e. des ordinateurs) comme les machines de Turing. En théorie de l'information, il est naturel de se demander si un signal peut être transmis dans un milieu bruité, et par extension s'il est possible de réaliser physiquement un modèle de calcul qui produira des résultats corrects malgré des rares mais inévitables défauts localisés. D'autre part, pour les physiciens, de telles structures sont comparables à celles des quasicristaux, des matériaux hautement ordonnés mais sans structure cristalline (c'est-à-dire périodique), dont on peine encore à proposer un modèle théorique expliquant leur formation. Mon travail dans ce manuscrit vient refléter et entremêler ces deux points de vue. Après quelques chapitres introductifs, le premier bloc thématique concerne un bruit localisé, indépendant d'une cellule à l'autre. Ici, la question est de savoir si, globalement, une structure admissible de forte densité est observable dans les pavages perturbés (on parlera alors de structure stable). Le problème en dimension d = 1 est comme souvent traité à part, auquel cas il est possible de décider (algorithmiquement) si un choix de règles induit un système stable. En dimension d ≥ 2, des exemples de structures stables sont proposés, d'abord périodiques, en exploitant leur redondance en fin de compte assez localisée, puis apériodiques, en se basant sur une variante du pavage apériodique de Robinson (avec une structure quasi-périodique complexe émergeant de règles simples). En implémentant des calculs dans cette structure hiérarchique, par réduction depuis d'autres problèmes indécidables, il est montré que cette question de stabilité est indécidable, et plus précisément Π_2-dure dans la hiérarchie arithmétique. Enfin, par des arguments d'analyse calculable sur l'espace des mesures de probabilité sur ces pavages perturbés, une majoration Π_4 sur la complexité de la stabilité est obtenue. Le second bloc adopte un point de vue plus physique, en associant aux règles locales un potentiel induisant des mesures de Gibbs. La quantité de perturbations découle alors d'un paramètre de température, qu'on fait tendre vers 0 également. Ici, le comportement local est étudié (dans la topologie faible-* ), et la question n'est plus de savoir si le système converge mais vers quelle(s) limite(s). Dans le cas d = 1, de tels potentiels induisent une unique mesure perturbée pour toute température, et cette famille de mesures converge lorsque la température tend vers 0. En dimension d ≥ 2, ce n'est plus le cas, et il existe de tels potentiels pour lesquels le système est chaotique (il n'admet aucune trajectoire convergente). Sous une hypothèse supplémentaire d'uniformité du modèle, je prouve ici que l'ensemble des valeurs d'adhérence des trajectoires est au plus Π_2-calculable. Ensuite, l'optimalité de cette borne est établie via un résultat de réalisation (à homéomorphisme affine calculable près) de tous les ensembles Π_2 calculables comme ensembles d'accumulation pour un certain potentiel, en encodant les calculs nécessaires dans des structures qui s'effaceront à la limite.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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