Extreme value statistics and optimization problems in stochastic processes
Statistiques d'extrêmes et problèmes d'optimisation de processus stochastiques
Résumé
This thesis is devoted to the study of extreme value statistics in stochastic processes and their applications. In the first part, we obtain exact analytical results on the extreme value statistics of both discrete-time and continuous-time random walks. In particular, we focus on the gap statistics of random walks and exhibit their asymptotic universality with respect to the jump distribution in the limit of a large number of steps. In addition, we compute the asymptotic behavior of the expected maximum of random walks in the presence of a bridge constraint and reveal a rich behavior in their finite-size correction. Moreover, we compute the expected length of the convex hull of Brownian motion confined in a disk and show that it converges slowly to the perimeter of the disk with a stretched exponential decay. In the second part, we focus on numerically sampling rare trajectories of stochastic processes. We introduce an efficient method to sample bridge discrete-time random walks. We illustrate it and apply it to various examples. We further extend the method to other stochastic processes, both Markovian and non-Markovian. We apply our method to sample surviving particles in the presence of a periodic trapping environment. Finally, we discuss several optimization problems in stochastic processes involving extreme value statistics. In particular, we introduce a new technique to optimally control dynamical systems undergoing a resetting policy.
Cette thèse est consacrée à l'étude des statistiques des valeurs extrêmes dans les processus stochastiques et de leurs applications. Dans la première partie, nous obtenons des résultats analytiques exacts sur les statistiques des valeurs extrêmes des marches aléatoires en temps discret et en temps continu. En particulier, nous nous concentrons sur les statistiques de gaps des marches aléatoires et révélons leur universalité asymptotique par rapport à la distribution des sauts dans la limite d'un grand nombre de pas. De plus, nous calculons le comportement asymptotique de la valeur moyenne du maximum de marches aléatoires en présence d'une contrainte de pont et révélons un comportement riche dans leur correction de taille finie. De plus, nous calculons la longueur moyenne de l'enveloppe convexe du mouvement Brownien confiné dans un disque et montrons qu'elle converge lentement vers le périmètre du disque avec une décroissance exponentielle étirée. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'échantillonnage numérique des trajectoires rares des processus stochastiques. Nous introduisons une méthode efficace pour échantillonner des marches aléatoires en temps discret. Nous l'illustrons et l'appliquons sur divers exemples. Nous étendons ensuite la méthode à d'autres processus stochastiques, à la fois markoviens et non markoviens. Nous appliquons notre méthode pour échantillonner des particules survivantes en présence d'un environnement de piégeage périodique. Enfin, nous discutons plusieurs problèmes d'optimisation dans les processus stochastiques impliquant des statistiques de valeurs extrêmes. En particulier, nous introduisons une nouvelle technique pour contrôler de manière optimale les systèmes dynamiques soumis à une politique de réinitialisation.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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