Applications of Quantum Fourier Sampling and the Dihedral Hidden Subgroup Problem
Applications de l'échantillonnage de Fourier quantique et problème de sous-groupe caché dans un groupe diédral
Résumé
The hidden subgroup problem (HSP) consists in finding an unknown subgroup in a group using a constant and distinct function on the cosets of this subgroup. It is of great importance in theoretical computer science and cryptography, and it turns out that quantum algorithms effectively solve some difficult instances of it. In particular, an HSP in an abelian group can be solved in polynomial time in the size of the group (a famous example is the discrete logarithm problem, solved by Shor's algorithm). Solving the HSP is essentially based on the quantum Fourier sampling technique, which inherits the properties of the quantum Fourier transform to solve problems with periodicity. In this thesis, we introduce a quantum algorithm for solving the problem of finding the shortest codeword in a random code constructed from an algorithm for decoding its dual code. This is an adaptation in Hamming metrics of a quantum reduction in Euclidean metrics of a version of the shortest vector problem to the learning-with-errors problem, which uses the quantum Fourier sampling technique and an idea due to Regev. We then recall how to solve the HSP in a dihedral group (DHSP), a problem to which many others used in post-quantum cryptography reduce, as well as the security of certain cryptosystems, such as CSIDH for example. The DHSP is in fact itself reduced to the (quantum) dihedral coset problem (DCP), for which we recall the various methods of solution. These fall into two families: the problem can be solved directly using CNOT gates and measurements (first Kuperberg algorithm), or it can be reduced to a classical subset-sum problem (Regev and second Kuperberg algorithms). We then describe a novel algorithm, inspired by the same techniques used in the reduction described above, that reduces the DCP to a quantum subset-sum problem. The resulting algorithm is the most efficient in terms of queries to the oracle inherent to the DCP. A query efficient interpolation between this new algorithm and the second Kuperberg algorithm is also presented. Finally, we explore alternative approaches to solving the DCP using less space (but potentially more oracle queries) in the spirit of Kuperberg's first algorithm.
Le problème de sous-groupe caché (HSP) consiste à trouver un sous-groupe inconnu dans un groupe en utilisant une fonction constante et distincte sur les classes de ce sous-groupe. Il relève d'une grande importance en informatique théorique et en cryptographie et il s'avère que des algorithmes quantiques en résolvent efficacement certaines instances difficiles. Notamment, un HSP dans un groupe abélien se résout en temps polynomial en la taille du groupe (un fameux exemple est le problème de logarithme discret, résolu par l'algorithme de Shor). La résolution du HSP se fonde essentiellement sur la technique d'échantillonnage de Fourier quantique, qui hérite des propriétés de la transformée de Fourier quantique pour résoudre des problèmes avec périodicité. Dans cette thèse, nous introduisons un algorithme quantique pour résoudre le problème de recherche de mot de poids faible dans un code aléatoire construit à partir d'un algorithme permettant de décoder son code dual. Ceci est une adaptation en métrique de Hamming d'une réduction quantique en métrique euclidienne d'une version du problème de vecteur le plus court au problème d'apprentissage avec erreurs, qui utilise la technique d'échantillonnage de Fourier quantique et une idée due à Regev. Nous rappelons ensuite comment résoudre le HSP dans un groupe diédral (DHSP), problème auquel de nombreux autres utilisés en cryptographie post-quantique se réduisent, ainsi que la sécurité de certains cryptosystèmes, comme CSIDH par exemple. Le DHSP se réduit en fait lui-même au problème, quantique, de classes diédrales (DCP), pour lequel nous rappelons les différentes méthodes de résolution. Celles-ci se divisent en deux familles: le problème peut-être résolu de manière directe à l'aide de portes CNOT et de mesures (premier algorithme de Kuperberg), ou alors il peut-être réduit à un problème de subset-sum classique (algorithmes de Regev et deuxième de Kuperberg). Nous décrivons alors un algorithme d'une nouvelle sorte en s'inspirant des mêmes techniques qu'utilisées dans la réduction décrite précédemment, réduisant le DCP à un problème de subset-sum quantique. L'algorithme obtenu est le plus efficace en terme de requêtes à l'oracle inhérent au DCP. Une interpolation efficace en terme de requêtes entre ce nouvel algorithme et le deuxième de Kuperberg est également introduite. Enfin, nous explorons des approches alternatives pour résoudre le DCP en utilisant moins d'espace (mais potentiellement plus de requêtes à l'oracle), dans l'esprit du premier algorithme de Kuperberg.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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