Statistical analysis of the optimal transport problem
Analyse statistique du problème du transport optimal
Résumé
Optimal transportation is a resource allocation problem present in fields such as economics, finance, physics or artificial intelligence. From a probabilistic point of view, the optimal transport cost endows the space of probability measures with a metric topology. In particular, this topology is equivalent to the weak topology of probability measures together with the convergence of moments. This makes the transport cost an appropriate tool for measuring discrepancies between distributions. On the other hand, the solution of the transport problem is known as optimal plan. That is, an unambiguous way to relate two distributions following an optimality criterion. This optimal plan, when deterministic, is called a transport map. However, in many cases the probability distribution is a theoretical, unattainable entity. It is only visible to the practitioner through its empirical version, i.e. a finite data set of size n. This work examines the asymptotic behaviour of the transport cost in its empirical version. In other words, we study the limits of the empirical cost and plans when the data grows to infinity. It is well-known that the empirical transport cost converges to the population one. Moreover, for continuous measures it does so at a rate that decreases with dimension. In this thesis we prove the consistency of the transport map using topology of set-valued maps. This leads, indirectly, to being able to state that the rate at which the fluctuations- difference between the expected empirical cost and the empirical cost itself-approximate zero is the parametric n- 21, irrespective of the dimension. Moreover, these fluctuations 1 multiplied by n2 tend toward a Gaussian random variable. In economic applications the transportation problem appears in numerous occasions in its semi-discrete version, i.e. one of the probability distributions is discrete. In this case, we show that the rate at which the empirical transport cost converges to the population one does not depend on the dimension. We also show that the well-known entropy regularization (or Sinkhorn regularization), apart from simplifying the computation of the transport problem by giving it a differen- tiable structure, has highly satisfactory statistical properties. In particular, its bias and the divergence-that the regularization defines-converge with speed greater than the parametric one; the empirical regularized plans converge to the population ones with rate n- 12 and, moreover, tending to a Gaussian process. The transport map endows a probability measure P with an order with respect to a given reference. This property leads to the successful definition of M.Hallin's multivariate distribution function by choosing as a reference measure the spherical uniform. This thesis provides sufficient conditions under which this function defines a homeomorphism between the support of the probability measure P and the unitary ball-i.e. to support of the spherical uniform. Finally, we provide a conditional version of the multivariate distribution function, with applications to quantile regression.
Le transport optimal est un problème d'allocation de ressources que l'on retrouve dans des domaines tels que l'économie, la finance, la physique et l'intelligence artificielle. D'un point de vue probabiliste, le coût de transport optimal dote l'espace des mesures de probabilité d'une topologie métrique. Cela fait du coût de transport un outil approprié pour mesurer les écarts entre les distributions. D'autre part, la solution du problème de transport est connue comme le plan optimal. C'est-à-dire une manière non ambiguë de mettre en relation deux distributions suivant un critère d'optimalité. Ce plan optimal, lorsqu'il est déterministe, s'appelle une application de transport. Cependant, la distribution de probabilité est souvent une entité théorique, irréalisable. Elle n'est visible pour le praticien qu'à travers sa version empirique, c'est-à-dire un ensemble de données fini de taille n. Ce document examine le comportement asymptotique du coût de transport dans sa version empirique. En d'autres termes, nous étudions les limites du coût empirique et de le plan lorsque les données croissent à l'infini. Les travaux précédents ont montré que le coût de transport empirique converge vers le coût théorique. De plus, pour les mesures continues, elle le fait à un taux qui diminue avec la dimension. Dans cette thèse, nous démontrons la cohérence de l'application de transport en utilisant la topologie des applications qui prennent des valeurs dans un espace d'ensembles. Cela conduit, indirectement, à pouvoir affirmer que le taux auquel les fluctuations-différence entre l'espérance du coût empirique et le coût empirique lui-même se rapprochent de zéro est le paramètre n- 21. De plus, ces fluctuations multipliées par n 12 tendent vers une variable gaussienne. Dans les applications économiques, le problème du transport apparaît à de nombreuses reprises dans sa version semi-discrète, c'est-à-dire qu'une des distributions est discrète. Dans ce cas, nous montrons que la vitesse à laquelle le coût de transport empirique converge vers le coût de population ne dépend pas de la dimension. Nous montrons également que la régularisation entropique (ou régularisation de Sinkhorn), outre qu'elle simplifie le calcul du problème de transport en lui donnant une structure différentiable, possède des propriétés statistiques très satisfaisantes. En particulier, leur biais et la divergence que la régularisation définit convergent avec une vitesse supérieure à celle du paramétrique ; les plans régularisés empiriques convergent vers ceux de la population, avec une erreur gaussienne et décroissante à la vitesse n- 12. L'application du transport confère à une mesure de probabilité P un ordre par rapport à une référence donnée. Cette propriété permet de définir avec succès la fonction de répartition multivariée de M.Hallin en choisissant comme mesure de référence l'uniforme sphérique. Cette thèse fournit des conditions suffisantes pour lesquelles cette fonction définit un homéomorphisme entre le support de la mesure de probabilité P et la balle unitaire, c'est-à-dire le support de l'uniforme sphérique. Enfin, nous fournissons une version conditionnelle de la fonction de répartition multivariée, avec des applications à la régression quantile.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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