Integral Motives and perverse Sheaves : t-structures and weak Artin vanishing property - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Integral Motives and perverse Sheaves : t-structures and weak Artin vanishing property

Motifs entiers et faisceaux pervers d'Artin : t-structures et propriété de Lefschetz faible

Raphaël Ruimy
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1319128
  • IdRef : 272485330

Résumé

In this thesis, we are mainly interested in the existence of t-structures on the subcategories of Artin objects of motivic categories. The latter are the objects that arise from motives of finite schemes on the base scheme. We first study the ℓ-adic setting, where we have the ordinary t-structure and the perverse t-structure, which we seek to restrict to Artin objects. Next, we look at the case of integral or rational motives, where t-structures are no longer available a priori and have to be constructed by direct methods. In both studies, we first focus on smooth objects, which we link to local systems, either étales or pro-étales, and then on the ordinary t-structure, the existence of which we prove in all cases. In the ℓ-adic case, we then show that the perverse t-structure induces a t-structure on Artin objects when the base scheme is of dimension at most 2 and for some base schemes of dimension 3. This result falls short, however, for general 3-dimensional schemes. In the case of Qℓ coefficients and when the base scheme is of finite type over a finite field, we also construct a so-called perverse homotopy t-structure which is the best possible approximation to a perverse t-structure on Artin ℓ-adic complexes. The same approach is used to construct a t-structure on Artin motives with rational coefficients. The hearts of both t-structures have properties similar to those of the category of perverse sheaves and contain the Ayoub-Zucker motive or its realization. Finally, we construct a perverse motivic t-structure on Artin motives with integer coefficients when the base scheme is of dimension at most 2 and show that this result falls short in dimension 4. This construction relies notably on a weak analogue of Artin's vanishing theorem.
Dans cette thèse, on s’intéresse principalement à l’existence de t-structures sur les sous-catégories des objets d’Artin de catégories motiviques. Ces derniers sont les objets qui proviennent des motifs de schémas finis sur le schéma de base. On étudie d’abord le cas ℓ-adique où l’on dispose de la t-structure ordinaire et de la t-structure perverse que l’on cherche à restreindre aux objets d’Artin. Dans un deuxième temps, on s’intéresse au cas des motifs entiers ou rationnels où l’on ne dispose plus a priori de t-structures ; il faut alors les construire par des méthodes directes. Dans ces deux études, on se penche dans un premier temps sur les objets lisses que l’on relie à des systèmes locaux étales ou pro-étales, puis dans un deuxième temps sur la t-structure ordinaire qui existe toujours. Dans le cas ℓ-adique, on démontre ensuite que la t-structure perverse induit une t-structure sur les objets d’Artin lorsque le schéma de base est de dimension au plus 2 et pour certains schémas de dimension 3. Ce résultat tombe cependant en défaut pour les schémas de dimension 3 généraux. Dans le cas des coefficients Qℓ et lorsque le schéma de base est de type fini sur un corps fini, on construit également une t-structure dite homotopique perverse qui est la meilleure approximation possible d’une t-structure perverse sur les complexes ℓ-adiques d’Artin. La même approche permet de construire une t-structure sur les motifs d’Artin à coefficients rationnels. Les cœurs de ces deux t-structures ont des propriétés similaires à celles de la catégorie des faisceaux pervers et contiennent le motif d’Ayoub-Zucker ou sa réalisation. Enfin, on construit une t-structure motivique perverse sur les motifs d’Artin à coefficients entiers lorsque le schéma de base est de dimension au plus 2 et on montre que ce résultat tombe en défaut en dimension 4. Cette construction repose en particulier sur un analogue faible du théorème de Lefschetz affine.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04318940 , version 1 (02-12-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04318940 , version 1

Citer

Raphaël Ruimy. Integral Motives and perverse Sheaves : t-structures and weak Artin vanishing property. Computational Geometry [cs.CG]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2023. English. ⟨NNT : 2023ENSL0047⟩. ⟨tel-04318940⟩
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