Algorithms for Sparse Polynomials : interpolation, arithmetic, identity testing
Algorithmes pour les polynômes creux : interpolation, arithmétique, test d'identité
Résumé
Handling polynomials is often a necessary step, either for solving theoretical problems or for modeling the physical world. In the context of dense polynomials, after many years of research, quasi-optimal algorithms have been designed for the most classical operations, such as multiplication or interpolation. However, for reasons of memory/time trade-off, it is often more appropriate to use the sparse representation of the polynomials. In this representation, optimality (or quasi-optimality) is much harder to achieve. This thesisaddresses this problem and presents new algorithms improving the known complexities for sparse polynomials.The first discussed operation is the interpolation of a sparse polynomial. Previous solutions showed a strong dependency on the underlying model and the coefficients ring. Still, no quasi-optimal algorithms exist. Our work brings a first quasi-optimal algorithm for the case of integer polynomials.In a second step, the hard question of divisibility between two sparse polynomials is addressed. First, we describe a non-trivial family of polynomials for which we propose a divisibility test in polynomial time. We also propose very efficient algorithms, optimal in some cases, to verify a product of polynomials modulo a sparse polynomial. These results lead to the first quasi-linear algorithm for the verification of sparse polynomialsproducts.Finally, the classical arithmetic operations: multiplication and division are also discussed. In particular, this thesis shows how to rely on verification and interpolation to obtain efficient algorithms. In the case of polynomials with integer coefficients, our approach reaches for the first time a quasi-optimal complexity.
La manipulation de polynômes est une étape souvent incontournable, que ce soit pour la résolution de problèmes théoriques ou pour la modélisation du monde physique. Dans le cadre des polynômes denses, de nombreuses années de recherches ont permis de développer des algorithmes quasi-optimaux pour les opérations les plus classiques, comme la multiplication ou l’interpolation. Cependant, pour des raisons de compromis mémoire/temps, il est souvent plus adéquat de représenter les polynômes sous une forme creuse. Dans cette représentation, l’optimalité (ou la quasi-optimalité) est bien plus difficile à atteindre. Cette thèse s’intéresse à cette problématique et présente de nouveaux algorithmes améliorant les complexités connues pour les polynômes creux.La première opération traitée est l’interpolation d’un polynôme creux. Les solutions apportées précédemment dépendent fortement du modèle sous-jacent et de l’anneau de définition sans toutefois atteindre des complexités quasi-optimales. Nos travaux répondent favorablement à cette question d’optimalité dans le cas de polynômes à coefficients entiers.Dans un second temps, la question difficile de la divisibilité entre deux polynômes creux est abordée. Tout d’abord, nous décrivons une famille non-triviale de polynômes pour laquelle nous proposons un test de divisibilité en temps polynomial. Nous proposons également des algorithmes très efficaces, optimaux dans certain cas, permettant de vérifier un produit de polynômes modulo un polynôme creux. Ces résultats permettent d’obtenir le premier algorithme quasi-linéaire de vérification de produits de polynômescreux.Enfin, les opérations arithmétiques classiques : multiplication et division sont aussi étudiées. Cette thèse montre en particulier comment s’appuyer sur la vérification et l’interpolation pour obtenir des algorithmes de produit et division exacte efficaces. Dans le cas des polynômes à coefficients entiers, notre approche permet d’obtenir pour la première fois des algorithmes quasi-optimaux.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|