Study of the Keller-Segel model in both stochastic and determinist cases
Étude des modèles stochastique et déterministe de Keller-Segel
Résumé
In this thesis, we study the Keller-Segel model: both the PDE and the system of particles. This model has attracted a lot of attention because of the phenomenon of tight competition between diffusion and concentration that it models. We are particularly interested in the behavior of these models around the instant of formation of a Dirac mass (or the instant of appearance of a cluster whose mass represents a positive proportion of the total number of particles). This work is divided into five parts. In a first part, we study finely the collision behavior for the system of particles. More precisely this system of particles consists of N Brownian motions in the plane interacting in the mean field via a Coulomb type interaction in θ/(N r) where r is the distance between two particles and θ a positive parameter such that N > 3θ. Depending on the values of θ and N there are two possible scenarios, here is one: the particle system explodes in finite time by making a cluster of k 0 particles emerge, where k 0 is a deterministic integer depending on N and θ. Just before the explosion, there are infinitely many collisions involving k 0 - 1 particles among the k 0 involved in the explosion cluster. Then before each collision between k 0 - 1 particles, there infinity of collisions between k 0 - 2 particles among the k 0 - 1 involved in the collision to k 0 - 1 particles. Moreover, before each collision between k 0 - 2 particles, there is an infinity of collision of pairs of particles involved in the collision between k 0 - 2 particles. Finally, there is no collision between exactly k particles for k ∈ {3, . . . , k 0 - 2}. In a second part, we will focus on a simplified proof of non-explosion, i.e. global existence, for the Keller-Segel PDE, for any initial measure f 0 such that f 0 (R 2 ) < 8π. The proof relies on a two-particle moment calculation. In a third part, we will prove the convergence of the empirical measure of the system of Keller-Segel particles along a subsequence in the subcritical and critical cases to the weak solution of the Keller-Segel PDE. In this part of the work, we are inspired by the second one and we use the same two-particle momentum argument. In a fourth part, we will present an ongoing but well committed project. It consists in to introduce a possible extension of the particle system beyond the explosion time. More More precisely, it is the same particle system for all the times before the time of the first cluster then after this time, this cluster is replaced by a particle of mass equivalent to the sum of the mass equivalent to the sum of the masses of the particles involved in this cluster and we apply the laws of the laws of interaction between the particles taking into account the mass of each one. We repeat this process at each cluster formation until we obtain at the end a single equivalent particle of mass equal to the sum of the masses of mass equal to the sum of the masses of all the particles, i.e. equal to N . We will show in what way this extension can be considered as natural. Finally, in a fifth part, we will present simulations which illustrate the results of the first part.
Dans cette thèse, nous étudions le modèle de Keller-Segel : à la fois l’EDP et le système de particules. Ce modèle a attiré beaucoup d’attention à cause du phénomène de compétition étroite entre diffusion et concentration qu’il modélise. Nous nous intéressons plus particulièrement au comportement de ces modèles autour de l’instant de formation d’une masse de Dirac (ou de l’instant d’apparition d’un cluster dont la masse représente une proportion positive du nombre total de particules). Ce travail est divisé en cinq parties. Dans une première partie, nous étudions finement le comportement des collisions pour le système de particules. Plus précisément ce système de particules consiste en N mouvements browniens dans le plan intéragissant en champ moyen via une intéraction de type Coulomb en θ/(N r) où r est la distance entre deux particules et θ un paramètre positif tel que N > 3θ. Selon les valeurs de θ et N il y a deux scénarios possibles, en voici un : le système de particules explose en temps fini en faisant émerger un cluster de k 0 particules, où k 0 est un entier déterministe dépendant de N et θ. Juste avant l’explosion, il y a une infinité de collisions impliquant k 0 − 1 particules parmi les k 0 impliquées dans le cluster de l’explosion. Puis avant chaque collision entre k 0 − 1 particules, il y a une infinité de collisions entre k 0 − 2 particules parmi les k 0 − 1 impliquées dans la collision à k 0 − 1 particules. De plus, avant chaque collision entre k 0 − 2 particules, il y a une infinité de collision de pair de particules impliquées dans la collision entre k 0 − 2 particules. Enfin, il n’y a aucune collision entre exactement k particules pour k ∈ {3, . . . , k 0 − 2}. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à une preuve simplifiée de non explosion, i.e. d’existence globale, pour l’EDP de Keller-Segel, pour toute donnée initiale measure f 0 tel que f 0 (R 2 ) < 8π. La preuve repose sur un calcul de moment à deux particules. Dans une troisième partie, nous prouverons la convergence de la mesure empirique du système de particules de Keller-Segel le long d’une sous suite dans les cas sous-critique et critique vers la solution faible de l’EDP de Keller-Segel. On s’inspire dans cette partie du travail de la seconde et on utilise le même argument de moment à deux particules. Dans une quatrième partie, nous présenterons un projet en cours mais bien engagé. Il s’agit d’introduire une extension possible du système de particules au delà du temps d’explosion. Plus précisément, il s’agit du même système de particules pour tout les temps antérieurs au temps de formation du premier cluster, puis après ce temps, ce cluster est remplacé par une particule de masse équivalente à la somme des masses des particules impliquées dans ce cluster et on applique les lois d’intéraction entre les particules en tenant compte de la masse de chacune. On réitère ce procédé à chaque formation de cluster jusqu’à obtenir à la fin une seule particule équivalente de masse égale à la somme des masses de toute les particules, i.e égale à N . Nous montrerons en quoi cette extension peut être considérée comme naturelle. Enfin, dans une cinquième partie, nous présenterons des simulations qui illustrent les résultats de la première partie.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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