Qualitative properties of solutions of degenerate and/or singular problems in the calculus of variations
Propriétés qualitatives de solutions de problèmes dégénérés et/ou singuliers en calcul des variations
Résumé
This thesis belongs in the fields of calculus of variations, elliptic partial differential equations and geometric measure theory. In the first chapter, we prove a uniqueness result for the solutions of a minimization problem of the form ʃΩφ(∇u)-λu with λ a constant function. The autonomy of this functional allows us to use translations of solutions as in [29] to prove that there is at most one uniformly continuous minimizer. In the second chapter, we consider a convex function φ as the one in [8] which is not differentiable at the origin and λ a Lipschitz continuous function. The proof of the uniqueness in this case relies on a study of the regularity of level sets. In the third chapter, we work with another φ introduced in [41] which is not strictly convex on several sets. We prove a uniqueness result in dimension two based again on a study of level lines and on a maximum principle for ∇φ(∇u) with u a minimizer. In the fourth chapter, we are interested in the regularity of weak solutions of degenerate elliptic partial differential equations of the form div G(∇u) = ƒ. In dimension two when ƒ is a constant we present some results on the continuity of G(∇u) under various growth assumptions on G. We also establish an extension of [57] by enlarging the degeneracy zone of G.
Cette thèse s'inscrit dans les domaines du calcul des variations, des équations aux dérivées partielles elliptiques et de la théorie géométrique de la mesure. Dans le premier chapitre, nous prouvons un résultat d'unicité des solutions pour un problème de minimisation de la forme ʃΩφ(∇u)-λu avec λ une fonction constante. L'autonomie de cette fonctionnelle nous permet d'effectuer des translations de solutions comme dans [29] pour montrer qu'il existe au plus un minimiseur uniformément continu. Dans le deuxième chapitre, nous considérons une fonction convexe φ comme celle présente dans [8] n'étant pas différentiable à l'origine et λ une fonction lipschitzienne. La preuve de l'unicité dans ce cas là repose sur une étude de la régularité des ensembles de niveau. Dans le troisième chapitre, on travaille avec un autre φ introduit dans [41] qui n'est pas strictement convexe sur plusieurs ensembles. Nous prouvons un résultat d'unicité en dimension deux reposant encore une fois sur une étude des lignes de niveau et sur un principe du maximum pour ∇φ(∇u) avec u un minimiseur. Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons à la régularité des solutions faibles d'équations aux dérivées partielles elliptiques dégénérées de la forme div G(∇u) = ƒ. En dimension deux quand ƒ est une constante nous présentons des résultats sur la continuité de G(∇u) sous diverses hypothèses de croissance sur G. Nous établissons aussi une extension de [57] en élargissant la zone de dégénérescence de G.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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