Max-plus modeling and simulation of traffic on mass-transit lines : application to skip-stop policy and line with a junction
Modélisation max-plus et simulation du trafic ferroviaire des voyageurs : application aux missions semi-directes et aux lignes à fourche
Résumé
In this thesis, we present a discrete event mathematical model for mass-transit lines that operate with a skip-stop policy and for lines with a junction. The model is based on the signaling system used in the Paris metro. The line is divided into segments corresponding to the line's actual blocks. The train dynamics in our model are based on two constraints, which have been developed in previous studies [23, 57]. Whenever possible, we formulate the models linearly using max-plus algebra. This algebra enables us to derive phase diagrams (or fundamental diagrams) analytically and interpret the principles of the physics of traffic. In Chapter 3, based on the work in [23], we develop two models for a skip-stop policy. We designate specific predetermined stations where we impose that every other train skips these stations to increase their speed. Through numerical simulations, we study the steady state of the train dynamics. Our findings are represented in fundamental diagrams that illustrate the line's frequency with and without the skip-stop policy as a function of the number of running trains. We compare these frequencies, assess potential benefits for the operator, analyze passenger travel times, and calculate the resulting savings or losses they may experience.In Chapters 4 and A, we extend our model developed in the previous chapter to incorporate, as input to the model, the services defined by the operator. Furthermore, by adapting our model, we show that it can be linearly written in the max-plus algebra. Thanks to the algebraic formulation, we characterize the conditions under which the train dynamics admit a stationary regime and show that the asymptotic average growth rate of the train dynamics coincides with the unique max-plus eigenvalue of the matrix describing the train dynamics. The asymptotic average growth rate of the train dynamics is interpreted here as the asymptotic average train time headway. We apply our model to Paris metro Line 1 and analytically derive its phase diagram. We demonstrate the existence of three distinct phases: free flow, capacity, and congestion. We also analyze the impact of the choice of skippable stations, considering their number or the stopping patterns defined by the operator.Chapter 5, by including passenger arrival rates at stations and their origin-destinations, allows for a precise measurement of the impact of the skip-stop policy on passengers. We construct a model for train dwell times based on the demand and the services defined by the operator. Similar to the previous chapter, we demonstrate that the model can be linearly formulated using max-plus algebra. We establish the existence of a steady state for the train dynamics and show that the average growth rate of the train dynamics corresponds to the average train time headway. Consequently, we can construct a phase diagram for the line as a function of the passenger demand. Initially, we analyze the effect of varying the demand level for a fixed demand profile. Subsequently, we compare two demand profiles and assess the circumstances under which the implementation of a skip-stop policy benefits passengers.Lastly, in Chapter 6, we focus on a line with a junction. Based on the findings of [57], we adapt the model to incorporate a change in the train running order at the merge of the line. Currently, a one-over-two rule is employed and has been previously modeled for the divergence and merge of the line. We modify the model to implement a first-in, first-out (FIFO) rule at the merge, enabling the first arriving train to enter the central section. Similar to Chapter 3, we utilize numerical simulations to derive our results. Initially, we construct the fundamental diagram of the line in the steady state of the train dynamics. Subsequently, with two potential disturbances on the line, we investigate how the change in rule at the convergence helps mitigate the impact of these disruptions
Dans cette thèse, nous présentons un modèle mathématique à événements discrets pour les lignes de transport en commun qui fonctionnent avec des missions semi-directes et pour les lignes comportant une fourche. La dynamique des trains dans notre modèle est basée sur deux contraintes qui ont été développées dans des études précédentes [23, 57]. Dans la mesure du possible, nous formulons les modèles de manière linéaire en utilisant l'algèbre max-plus. Cette algèbre nous permet de dériver des diagrammes de phase de manière analytique et d'interpréter la physiques du trafic. Dans le Chap. 3, nous développons deux modèles pour des missions semi-directes. Nous désignons des stations spécifiques où nous imposons qu'un train sur deux saute ces stations pour augmenter sa vitesse. À l'aide de simulations numériques, nous étudions l'état stationnaire de la dynamique des trains. Nos résultats sont représentés dans des diagrammes fondamentaux qui illustrent la fréquence de la ligne avec et sans la politique de sauts en fonction du nombre de trains en circulation. Nous comparons ces fréquences et calculons les économies ou les pertes pour les passagers. Dans le Chap. 4, nous étendons notre modèle développé dans le chapitre précédent pour incorporer, en tant qu'entrée du modèle, les missions définis par l'opérateur. De plus, en adaptant notre modèle, nous montrons qu'il peut être écrit de manière linéaire dans l'algèbre max-plus. Grâce à la formulation algébrique, nous caractérisons les conditions sous lesquelles la dynamique des trains admet un régime stationnaire et montrons que le taux de croissance moyen asymptotique de la dynamique des trains coïncide avec l'unique valeur propre max-plus de la matrice décrivant la dynamique des trains. Le taux de croissance moyen asymptotique de la dynamique des trains est interprété ici comme l'intervalle moyen asymptotique des trains. Nous appliquons notre modèle à la ligne 1 et en dérivons analytiquement son diagramme de phase. Nous démontrons l'existence de trois phases distinctes : phase libre, capacité et congestion. Nous analysons également l'impact du choix des stations pouvant être sautées, en tenant compte de leur nombre ou des schémas d'arrêt. Le Chap. 5, en incluant les taux d'arrivée des passagers aux stations et leurs origines-destinations, permet une mesure précise de l'impact de la politique de sauts sur les passagers. Nous construisons un modèle pour les temps d'arrêt des trains basé sur la demande et les missions définis par l'opérateur. De la même manière que dans le chapitre précédent, nous démontrons que le modèle peut être formulé de manière linéaire en utilisant l'algèbre max-plus. Nous établissons l'existence d'un état stationnaire pour la dynamique des trains et montrons que le taux de croissance moyen de la dynamique des trains correspond à l'intervalle moyen des trains. Par conséquent, nous pouvons construire un diagramme de phase pour la ligne en fonction de la demande des passagers. Nous analysons l'effet de la variation du niveau de demande pour un profil de demande fixe. Ensuite, nous comparons deux profils de demande et évaluons les circonstances dans lesquelles la mise en œuvre de missions semi-directes bénéficie aux passagers. Enfin, dans le Chapitre 6, nous nous concentrons sur une ligne comportant une fourche. Nous modifions le modèle existant [57] pour mettre en œuvre une règle de type "premier arrivé, premier sorti" (FIFO) au niveau de la convergence, permettant au premier train arrivé d'entrer dans la section centrale. Nous utilisons des simulations numériques pour obtenir nos résultats. Initialement, nous construisons le diagramme fondamental de la ligne à l'état stationnaire de la dynamique des trains. Ensuite, avec deux perturbations potentielles sur la ligne, nous étudions comment le changement de règle à la convergence aide à atténuer l'impact de ces perturbations
Domaines
Probabilités [math.PR]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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