Étude de complexité algorithmique pour des problèmes de domination et de tournées dans les graphes avec obligations - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Algorithmic complexity study for domination and routing problems in graphs with obligations

Étude de complexité algorithmique pour des problèmes de domination et de tournées dans les graphes avec obligations

Résumé

Sensors, machines, and teams can be interdependent, requiring collective mobilization. They cannot accomplish their tasks individually. We represent this constraint by an obligation. An obligation can be helpful for general questions. How to cover an area with sensors associated in groups? How to collect items when when streets have an imposed direction? We are interested in these questions from a theoretical point of view through graph problems. We distinguish two types of obligations: obligations associated with multiple vertices and mandatory transitions associated with multiples arcs. Thus, we study the complexity of two families of problems: domination problems with obligations and routing problems with mandatory transitions.We study more precisely the Independent Dominating set with Obligations problem. Thus, an instance is a graph $G = (V, E)$ and associated obligations $Pi = (V_{1},dots, V_{k})$ forming a partition of the graph's vertices. A solution is an independent subset of vertices $D subseteq V$, dominating all vertices of the graph and respecting the obligations (for $1 leq i leq k$, either all vertices of the obligation are in the subset $V_{i} subseteq S$ or none $V_{i} cap D = varnothing$). We show that determining the existence of an Independent Dominating set with Obligations is an $mathcal{NP}$-complete problem even on a path, a high-density graph, a low-density graph, or a graph with diameter two, and this holds for obligations containing the same number of independent vertices or for an arbitrary distribution of the obligation sizes. When we want to maximize the number of dominated vertices, we also show that the Independent Dominating set with Obligations problem is $mathcal{NP}$-complete for dominating $3sqrt{|V|} -2$ vertices even in a collection of paths, but it has a polynomial time resolution for dominating $2sqrt{|V|} -1$ vertices.An instance for a routing problem is a directed graph $D = (V, A)$ (or undirected graph $G = (V, E)$) and associated mandatory transitions $Pi = (A_{1}, ldots, A_{k})$. In addition to any constraints related to the chosen routing problem, a diroute solution $P = v_{1}, ldots, v_{l} in V$ must respect the mandatory transitions. For $1 leq i leq k$, the obligation $E_{i} = langle a, b, cangle$ must be respected, meaning that if the arc $(a,b)$ is passed through in the route ($v_{j} = a$ and $v_{j+1} = b$ for $1 leq j leq l-2$) then the arc $(b,c)$ must be passed through directly after ($v_{j+2} = c$). We show that the Shortest Path with Mandatory Transitions problem has a polynomial time resolution in the general case but is inapproximable for any ratio when searching for an elementary diroute, even in a high-density or low-density directed graph. We also show that the Total Routing with Mandatory Transitions problem is inapproximable for any ratio, even in a symmetric complete directed graph. Finally, we show that determining the existence of a Hamiltonian Cycle with Mandatory Transitions and a Maximum Elementary Cycle with Mandatory Transitions are $mathcal{NP}$-complete problems even in a complete graph.
Des capteurs, des machines, des équipes peuvent être interdépendantes, nécessitant une mobilisation collective. Elles ne peuvent accomplir leurs missions individuellement. Nous représentons cette contrainte par une obligation. Une obligation peut être utile pour des questions générales. Comment couvrir un terrain avec des capteurs associés en groupes ? Comment collecter des éléments lorsque des rues disposent d'une direction imposée ? Nous nous intéressons à ces questions d'un point de vue théorique à travers des problèmes de graphes. Nous distinguons deux types d'obligations : les obligations associées à plusieurs sommets et les transitions obligatoires associées à plusieurs arcs. Ainsi, nous étudions la complexité de deux familles de problèmes : les problèmes de domination avec obligations et les problèmes de tournées avec transitions obligatoires.Nous étudions plus précisément le problème de l'Indépendant Dominant avec Obligations. Ainsi, une instance est un graphe $G = (V, E)$ et des obligations associées $Pi = (V_{1},dots, V_{k})$ formant une partition des sommets du graphe. Une solution est un sous-ensemble de sommets $D subseteq V$ indépendant, dominant tous les sommets du graphe et respectant les obligations (pour tout $1 leq i leq k$ soit tous les sommets de l'obligation sont dans le sous-ensemble $V_{i} subseteq D$ soit aucun $V_{i} cap D = varnothing$). Nous montrons que déterminer l'existence d'un Indépendant Dominant avec Obligations est un problème $mathcal{NP}$-complet même dans un chemin, un graphe de forte densité, de faible densité ou un graphe de diamètre deux et ce, pour des obligations contenant toutes le même nombre de sommets indépendants entre eux ou pour une distribution arbitraire de la taille des obligations. Lorsque nous souhaitons maximiser le nombre de sommets dominés, nous montrons également que le problème de déterminer l'existence d'un Indépendant Dominant avec Obligations est $mathcal{NP}$-complet pour $3sqrt{|V|} -2$ sommets à dominer même dans une collection de chemins mais admet une résolution en temps polynomial pour $2sqrt{|V|} -1$ sommets à dominer.Quant aux problèmes de tournées avec transitions obligatoires, une instance est un graphe orienté $D = (V, A)$ (ou non orienté $G = (V, E)$) et des transitions obligatoires associées $Pi = (A_{1}, ldots, A_{k})$. En plus des contraintes éventuelles spécifiques au problème de tournées choisi, une diroute solution $P = v_{1}, ldots, v_{l} in V$ doit respecter les transitions obligatoires. Pour tout $1 leq i leq k$, l'obligation $E_{i} = langle a, b, cangle$ doit être respectée, c'est-à-dire que si l'arc $(a,b)$ est parcouru dans la diroute ($v_{j} = a$ et $v_{j+1} = b$ pour $1 leq j leq l-2$) alors l'arc $(b,c)$ doit être parcouru directement après ($v_{j+2} = c$). Nous montrons que le problème du Plus Court Chemin avec Transitions Obligatoires admet une résolution en temps polynomial dans le cas général, mais est inapproximable pour tout ratio pour la recherche d'une diroute élémentaire même dans un digraphe de forte densité ou de faible densité. Nous montrons également que le problème de la Tournée Totale avec Transitions Obligatoires est inapproximable pour tout ratio, même dans un digraphe complet symétrique. Finalement, nous montrons que déterminer l'existence d'un Cycle Hamiltonien avec Transitions Obligatoires et d'un Cycle Élémentaire Maximum avec Transitions Obligatoires sont des problèmes $mathcal{NP}$-complets même dans un graphe complet.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04457281 , version 1 (14-02-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04457281 , version 1

Citer

Timothée Martinod. Étude de complexité algorithmique pour des problèmes de domination et de tournées dans les graphes avec obligations. Algorithme et structure de données [cs.DS]. Université Clermont Auvergne, 2023. Français. ⟨NNT : 2023UCFA0076⟩. ⟨tel-04457281⟩
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