Patchworking, tropical homology, and Betti numbers of real algebraic hypersurfaces - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Patchworking, tropical homology, and Betti numbers of real algebraic hypersurfaces

Patchworking, homologie tropicale, et nombres de Betti des hypersurfaces algébriques réelles

Charles Arnal

Résumé

In this thesis, we investigate the Betti numbers of the real part of real algebraic hypersurfaces in relation to the homology of the complex part, as well as to the tropical homology of tropical hypersurfaces. In particular, we develop a technique, based on Viro’s patchworking method, for constructing high-dimensional real algebraic hypersurfaces, and use it to build families of hypersurfaces whose real parts have asymptotically large Betti numbers. We also prove tropical analogs to Lefschetz’s hyperplane section theorem, and show that the homology of non-singular projective tropical hypersurfaces is torsion-free. Finally, we study the action of the complex conjugation on the homology of some elementary real algebraic hypersurfaces that serve as building blocks in Viro’s method, and derive the conditions under which they are Galois maximal.
Dans cette thèse, nous étudions les nombres de Betti de la partie réelle d'hypersurfaces algébriques réelles et leur lien avec l'homologie de la partie complexe, ainsi que l'homologie tropicale d'hypersurfaces tropicales. En particulier, nous développons une technique de construction d'hypersurfaces algébriques réelles basée sur la méthode du Patchworking de Viro, et l'utilisons pour générer des familles d'hypersurfaces dont les parties réelles ont des nombres de Betti asymptotiquement grands. Nous prouvons également des analogues tropicaux au théorème de la section d'hyperplan de Lefschetz, et montrons que l'homologie des hypersurfaces tropicales projectives non-singulières est sans torsion. Enfin, nous étudions l'action de la conjugaison complexe sur l'homologie d'une certaine classe d'hypersurfaces algébriques réelles élémentaires utilisées dans un cas particulier important de la méthode de Viro, et déterminons les conditions sous lesquelles elles sont Galois-maximales.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04471371 , version 1 (21-02-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04471371 , version 1

Citer

Charles Arnal. Patchworking, tropical homology, and Betti numbers of real algebraic hypersurfaces. Algebraic Geometry [math.AG]. Sorbonne Université, 2020. English. ⟨NNT : 2020SORUS479⟩. ⟨tel-04471371⟩
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