PDE constrained kernel regression methods
Méthodes de régression à noyau sous contraintes d'équations aux dérivées partielles
Résumé
This thesis manuscript deals with the study of certain kernel regression methods, which are specifically built to approximate functions which are constrained by partial differential equations (PDEs). In particular, the matter of the construction of covariance kernels which respect to the properties of the PDE is studied. This question is mostly studied from the point of view of the (Gaussian) random field underlying the kernel. Chapter 1 contains a user friendly description of important notions stemming from Bayesian inference, random field theory and PDE theory. Chapter 2 describes a necessary and sufficient condition ensuring that the sample paths of a general second order random field are solutions to a given linear homogeneous PDE, in the sense of distributions, almost surely. Given a nonnegative integer m and a finite exponent p strictly larger than 1, Chapter 3 provides several necessary and sufficient conditions ensuring that the realizations of a centered Gaussian process lie in the Sobolev space associated to the pair (m,p), almost surely. The results contained in Chapters 2 and 3 only involve the two first moments of the process, and its covariance kernel in particular. Some of these results are relatively easy to use in practice. The theoretical frameworks of both chapters are chosen to be as general as possible, e.g. avoiding unnecessary continuity assumptions.Chapter 4 describes several covariance kernels tailored to the three dimensional wave equation (in the sense of Chapter 2). They correspond to stationary and radially symmetric initial conditions. These kernels are then used to estimate the physical parameters of the wave equation as well as its initial conditions, given a database of observations of a solution to the PDE thanks to scattered sensors. Chapter 5 describes how numerical methods akin to finite difference schemes can be obtained for the advection equation, thanks to a kernel tailored to this PDE. Certain well-known finite difference schemes are recovered and new ones are proposed. A theoretical and numerical study of those schemes is then provided, along with related conjectures.
Ce manuscrit traite de l'étude de méthodes de régression à noyau construites spécifiquement pour résoudre des problèmes contrôlés par des équations aux dérivées partielles (EDPs). En particulier, la question du choix d'un noyau respectant les propriétés d'une EDP donnée est étudiée, notamment du point de vue du processus aléatoire sous-jacent au noyau utilisé. Un chapitre introductif est dédié à une description pédagogique de notions importantes issues de l'inférence bayésienne, de la théorie des processus aléatoires et de la théorie des EDPs. Le chapitre 2 donne une caractérisation nécessaire et suffisante pour que les trajectoires d'un processus aléatoire général d'ordre deux vérifient une EDP linéaire homogène donnée, au sens des distributions. Etant donnés un entier m et un exposant p fini et strictement plus grand que 1, le chapitre 3 décrit plusieurs caractérisations nécessaires et suffisantes pour que les trajectoires d'un processus gaussien centré possèdent la régularité Sobolev associée au couple (m,p), presque sûrement. Les caractérisations de ces deux chapitres sont formulées uniquement en terme des deux premiers moments du processus; certaines d'entre elles sont relativement faciles à appliquer en pratique. Les cadres théoriques de ces deux chapitres sont choisis de façon à être les plus généraux possibles, en évitant toute hypothèse de continuité non nécessaire.Le chapitre 4 décrit quelques fonctions de covariance adaptées à l'équation des ondes (au sens du chapitre 2) en trois dimensions. Elles correspondent à des données initiales stationnaires ou à symétrie radiale. Ces fonctions sont ensuite utilisées pour estimer les paramètres physiques de l'équation ainsi que ses conditions initiales, étant donné une base de données d'observations de la solution issues de quelques capteur ponctuelles. Le chapitre 5 décrit comment des schémas numériques de type différences finies pour l'équation d'advection peuvent être obtenus à l'aide d'une régression à noyau basée sur une fonction de covariance adaptée à cette EDP. Certains schémas classiques sont retrouvés et de nouveaux sont proposés. Une étude théorique et numérique (accompagnée de conjectures) de ces schémas est proposée.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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