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Thèse Année : 2023

Analysis, control and simulation of non-Newtonian fluids

Analyse, contrôle et simulation des fluides non-newtoniens

Geoffrey Lacour
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1357576
  • IdRef : 276043332

Résumé

This thesis is devoted to the mathematical analysis of a class of non-Newtonian flows. In it, we first establish the existence of weak solutions for shear-thinning flows, namely such that the viscosity of the fluid decreases as the stresses applied to it increase. The solutions discussed are shown in the two-dimensional and three-dimensional cases, and are established in the form of variational inequalities. A remarkable property of shear-thinning flows is that they stop in finite time, and it is shown that solutions in the form of variational inequalities shed light on this property. A natural question then is whether it is possible, by applying spatially localized forces, to control the time at which the flow stops: this is a problem of internal controllability. Based on the Hilbert Uniqueness Method, we then show, by means of a fixed-point method carried out in a weak topology, that it is possible to establish such control for equations close to those describing shear-thinning or shear-thickening flows, which are given by a class of quasilinear parabolic equations. An important special case is then the existence of an approximate global control for the parabolic p-Laplacian equation when p > 3/2, the control being in fact exact for 3/2 < p < 2. Numerical simulations based on a mixed finite element method using Hsieh-Clough-Tocher finite elements complement these controllability results. In order to highlight the properties specific to the particular viscosity of these fluids, a sedimentation problem involving particles suspended in them is also studied. This is modeled by a Stokes-transport system, in which a degenerate viscosity is allowed as a function of the density of particles suspended in the mixture. By making use of renormalized solutions in a Friedrich approximation scheme, we then establish the existence of weak solutions for this system. Finally, the thesis concludes with a purely numerical study applied to medicine, consisting in the determination of diffusion coefficients of chemical species through a porous membrane from a data set. These coefficients, known as Beavers-Joseph coefficients, are then calculated using a combination of adaptive gradient descent and a Newton method.
Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique d'une classe d'écoulements non-newtoniens. Dans celle-ci, nous établissons dans un premier temps l'existence de solutions faibles pour des écoulement rhéofluidifiants, c'est-à-dire tels que la viscosité du fluide diminue lorsque les contraintes appliquées à ce dernier augmentent. Les solutions abordées sont montrées dans les cas bidimensionnel et tridimensionnel, et sont établies sous forme d'inégalités variationnelles. Une propriété remarquable des écoulement rhéofluidifiants est que ceux-ci s'arrêtent en temps fini, et il est alors montré que les solutions sous forme d'inégalités variationnelles établies permettent de mettre en lumière cette propriété. Une question naturelle est alors de savoir si il est possible, en appliquant des forces localisées en espace, de contrôler le temps auquel l'écoulement s'arrête: il s'agit d'un problème de contrôlabilité interne. En se basant sur la Méthode d'Unicité dans les espaces de Hilbert, on montre alors, par une méthode de point fixe réalisée dans une topologie faible, qu'il est possible d'établir un tel contrôle pour des équations proches de celles décrivant des écoulements rhéofluidifiants ou rhéoépaississants, qui sont données par une classe d'équations paraboliques quasilinéaires. Un cas particulier important est alors l'existence d'un contrôle global approché pour l'équation du p-laplacien parabolique lorsque p > 3/2, le contrôle étant en fait exact pour 3/2 < p < 2. Des simulations numériques basées sur une méthode d'éléments finis mixtes utilisant les éléments finis de Hsieh-Clough-Tocher viennent compléter ces résultats de contrôlabilité. Afin de souligner les propriétés propres à la viscosité particulière de ces fluides, on étudie également un problème de sédimentation de particules en suspension dans ceux-ci. Cela se modélise par un système de type Stokes-transport, dans lequel est permis une viscosité dégénérescente en fonction de la densité des particules en suspension dans le mélange. En faisant usage de solutions renormalisées dans un schéma d'approximation de Friedrich, on établit alors l'existence de solutions faibles pour ce système. Enfin, la thèse se conclut par une étude purement numérique appliquée à la médecine, consistant à la détermination de coefficients de diffusion d'espèces chimiques au travers d'une membrane poreuse à partir d'un jeu de données. Ces coefficients, appelés coefficients de Beavers-Joseph, sont alors calculés par la combinaison d'une descente de gradient à pas adaptatif et d'une méthode de Newton.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04480263 , version 1 (27-02-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04480263 , version 1

Citer

Geoffrey Lacour. Analysis, control and simulation of non-Newtonian fluids. Mathematical Physics [math-ph]. Université Clermont Auvergne, 2023. English. ⟨NNT : 2023UCFA0092⟩. ⟨tel-04480263⟩
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