Supervised classiciation et nonparametric estimation for SDEs
Classification supervisée et estimation non-paramétrique pour les EDS
Résumé
This thesis deals with statistical studies based on functional data modelled by stochastic differential equations whose solutions are called diffusion processes. More precisely, we bring contributions on the resolution of the problem of nonparametric estimation of coefficients of a diffusion process in short time, and on the construction of nonparametric procedures for multiclass classification of diffusion paths. The thesis is divided into three main parts.
In the first part of the thesis, we focus on the nonparametric estimation of the diffusion coefficient of a time-homogeneous stochastic differential equation with a finite time horizon. Two frameworks are considered. First, we assume that only a single discrete path is observed, and second, we assume that N diffusion paths, generated independently, are observed. In each framework, we propose projection estimators of the square of the diffusion coefficient respectively on a compact interval, and on the real line, by minimizing a least squares contrast function. We establish the consistency of estimators, and derive rates of convergence under mild assumption on the diffusion coefficient. This first part paves the way for the construction of an empirical classification procedure of the plug-in type, which is based on the nonparametric estimation of the coefficients of the diffusion processes.
The second part proposes a plug-in type classification procedure for diffusion paths. We consider a diffusion process X that is a strong solution of a time-homogeneous stochastic differential equation with a unknown drift coefficient depending on a label Y taking values in a finite set of N, and with an unknown diffusion coefficient, common to all classes. We propose, from a learning sample containing N independent observations of the diffusion process, a plug-in classifier based on nonparametric estimators of coefficients of the diffusion process, and on the estimator of the discrete law of the label Y. The observation window is the compact interval [0,1]. We prove the consistency of the plug-in classifier, and establish a rate of convergence of order N^{-1/5} when the coefficients of the diffusion process are unknown and Lipschitz. We also derive some faster rates of convergence under stronger assumptions on the drift and the diffusion coefficient.
The last part focuses on the construction of a nonparametric procedure of Empirical Minimization Risk (ERM) type for multiclass classification of diffusion paths. The setting is the same as in the second part, and the goal is to build an empirical classifier by minimizing the empirical risk of classification defined from the learning sample. We prove the consistency of the ERM-type classifier, and derive a rate of convergence of order N^{-1/3} over the space of Lipschitz functions. We then establish, in the binary classification setup, and over the same Holder space, a faster rate of convergence of order N^{-4/9} in binary classification, thanks to a margin assumption imposed on the regression function associated to the model.
Cette thèse porte sur des études statistiques basées sur les données fonctionnelles modélisées par des équations différentielles stochastiques dont les solutions sont appelées processus de diffusion. Nous apportons des contributions au problème d'estimation non-paramétrique des coefficients d'un processus de diffusion en temps court, et à la question de construction des procédures non-paramétriques de classification multiclasses pour les trajectoires de diffusion en temps court. La thèse est divisée en trois principales parties.
Dans la première partie de la thèse, on se focalise sur l'estimation non-paramétrique du coefficient de diffusion d'une équation différentielle stochastique homogène en temps avec un horizon temporel fini. Deux cadres d'étude sont envisagés. Premièrement, on suppose qu'une seule trajectoire de diffusion est observée, et deuxièmement, on suppose observer N trajectoires de diffusion indépendantes. Dans chaque cadre d'étude, nous proposons des estimateurs par projection du carré du coefficient de diffusion respectivement sur un intervalle compact, et sur la droite réelle R par la minimisation d'une fonction de contraste des moindres carrés. Nous établissons la consistance des estimateurs et des vitesses de convergences sous des hypothèses de régularité sur le coefficient de diffusion. Cette première partie ouvre ainsi la voie à la construction d'une procédure de classification empirique de type plug-in, qui repose sur l'estimation non-paramétrique des coefficients des processus de diffusion.
La deuxième partie propose une procédure de classification de type plug-in des trajectoires de diffusion. Nous partons d'un modèle de diffusion dans lequel un processus de diffusion X est solution forte d'une équation différentielle stochastique homogène en temps dont le coefficient de dérive est supposé inconnu et dépend de la classe Y, une variable aléatoire discrète de loi inconnue, et dont le coefficient de diffusion, aussi supposé inconnu, est commun à toutes les classes. On propose, à partir d'un échantillon constitué de N observations indépendantes du processus de diffusion, un classifieur de type plug-in basé sur des estimateurs non-paramétriques des coefficients de dérive et de diffusion, et de l'estimateur de la loi discrète de l'étiquette Y. Nous prouvons la consistance du classifieur plug-in et établissons une vitesse de convergence de l'ordre de N^{-1/5} lorsque les coefficients du processus sont des fonctions sont inconnues et lipschitziennes. Nous établissons ensuite des vitesses plus rapides sous des hypothèses plus fortes sur les coefficients de dérive et de diffusion.
La dernière partie traite de la construction d'une procédure non-paramétrique de classification multiclasses de type ERM pour les trajectoires de diffusion. Nous restons dans le meme cadre d'étude que celui de la deuxième part, et l'objectif est de construire un classifieur empirique par la minimisation du risque empirique (ERM) de classification. Nous prouvons la consistance du classifieur de type ERM et établissons une vitesse de convergence de l'ordre de N^{-1/3} sur l'espace de fonctions Lipschitziennes. Nous établissons ensuite une vitesse plus rapide de l'ordre de N^{-4/9} en classification binaire, grace à une hypothèse de marge imposée sur la fonction de régression associée au modèle.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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Domaine public
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