Probabilistic numerical methods in finance : valuation of pollution rights and approximate computation for weak hedging
Méthodes numériques probabilistes pour la finance : valorisation des droits à polluer et approximation de couverture faible
Résumé
In this thesis, we propose some probabilistic numerical approximation with application in carbon emission market as well as PnL hedging. Including a theoretical splitting scheme by treating differently transport equation and diffusion equation, an alternative particles and tree-based scheme, and approximate computation for PnL hedging. In the first part of this thesis, we focus on the numerical approximation of a class of Forward-Backward Stochastic Differential Equations(FBSDEs) which have a degenerate forward component and non-regular terminal condition. It is proposed in [21] for carbon emission market modelling and studied in [20]. We propose a new theoretical splitting scheme for solving this FBSDE systems in a high-dimensional setting. This scheme consists of separating diffusion and non-linear transport parts. We also manage to prove a convergence rate results for our theoretical scheme under structural assumptions. In the second part of this thesis, we focus on a class of non standard control problems in which we impose on the controlled process a constraint involving its law at a terminal time. The classical example is the so-called quantile hedging. We first introduce weak hedging problem and encapsulate all possible cases for target measure: discrete and finite or arbitrary in a general setting. Especially, in linear framework we establish an explicit representation via optimal transportation for weak hedging problem in the case where μ a probability measure, and for μ a discrete and finite measure, we also obtain a new dual characterisation for "Kantorovich version" problem. Based on this dual formulation, we propose a new numerical approach using SGD algorithms. Several numerical tests are run showing quite satisfactory results.
Dans cette thèse, nous proposons une approximation numérique probabiliste avec une application au marché des émissions de carbone ainsi qu'à la couverture PnL. Y compris un schéma de splitting théorique en traitant différemment l'équation de transport et l'équation de diffusion, un schéma alternatif basé sur les particules et l'arbre, et le calcul pour l'approximation de la couverture PnL. Dans la première partie de cette thèse, nous nous concentrons sur l'approximation numérique d'une classe d'équations différentielles stochastiques progressifs et rétrogrades (EDSPRs) qui ont une composante forward dégénérée mais aussi une condition terminale irrégulière. Il est proposé dans [21] pour la modélisation du marché des émissions de carbone et étudié dans [20]. Nous proposons un nouveau schéma de splitting théorique pour résoudre ces systèmes EDSPRs dans un cadre de grande dimension. Ce schéma consiste à séparer les parties de diffusion et celles de transport non linéaire. Nous parvenons également à prouver un résultat de ordre de convergence pour notre schéma théorique sous l'hypothèse minimale. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons à une classe de problèmes de contrôle non standard dans lesquels nous imposons au processus contrôlé une contrainte sur sa loi au temps terminal. L'exemple classique est ce qu'onappelle la couverture quantile voir e.g. [37]. Nous introduisons d'abord problème de couverture faible et encapsulons tous les cas possibles pour la mesure cible: discrète et finie ou arbitraire dans un cadre général. En particulier, nous établissons une représentation explicite via transport optimal pour le problème de couverture faible pour une mesure de probabilité. Et pour une mesure discrète et finie, nous obtenons également une nouvelle caractérisation duale pour le problème de "Kantorovich". A partir de cette formulation duale, nous proposons une nouvelle approche numérique qui se base sur des algorithmes de descente de gradient stochastique. A la fin, nous démontrons également numériquement l'efficacité de notre méthode pour plusieurs cas.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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