Hawkes processes on random graphs in neuroscience : large population limit and long time stability
Processus de Hawkes sur des graphes aléatoires en neurosciences : limite en grande population et stabilité en temps long
Résumé
In this thesis, we are interested in a model of a population of neurons represented by a multivariate Hawkes process. The activity of each neuron is described by a counting process, where each jump represents a spike of the neuron. A label is attributed to each neuron, linked to its function or to its spatial location. The connectivity between neurons is given by a random possibly diluted and inhomogeneous graph where the probability of presence of each edge depends on the labels of its vertices. The firing rate of each neuron depends on the history of the connected neurons: this rate increases in case of excitation by others neurons, or decreases in case of inhibition. The main motivation of this work is to study the behavior of the dynamical system when the size of the population goes to infinity, for fixed realization of the interaction: we focus on the large population limit in a quenched setting. One main issue is the understanding of how the spatial inhomogeneity (in the interaction) influences the large time behavior of the system. Another issue is to link the microscopic model to the Neural Field Equation (NFE), which models large-scale neural dynamics with non-local interactions. This document contains, after an introduction in French and one (more detailed) in English, three chapters. Chapter 3 sets out the formal framework of the main model and gives its large population limit, described by inhomogeneous Poisson point processes. We prove a propagation of chaos result, valid on finite time intervals. A focus is also made on the large time behavior of the large population limit in the linear case. The following chapters explore cases where one can study the long-time behavior (up to time horizons that are polynomial in the size of the population) of the microscopic system. In Chapter 4 the dynamics is attracted to a unique stationary solution of the NFE. We prove the long-time stability of the dynamics of the system around this solution. In Chapter 5 the NFE admits a manifold of stable stationary solutions. We show the long time proximity of the microscopic system to this manifold. In particular we prove that the dynamics of the system can be illustrated by a Brownian motion on the manifold, when the time scale is of order the size of the population.
Dans cette thèse, nous nous concentrons sur un modèle de population de neurones, où l'activité neuronale de la population est représentée par un processus de Hawkes multivarié. L'activité de chaque neurone est décrite par un processus de comptage, où chaque saut du processus représente l'émission d'un potentiel d'action (également appelé spike) par le neurone. Une étiquette est attribuée à chaque neurone, liée à sa fonction ou à sa localisation spatiale. La connectivité entre les neurones est donnée par un graphe aléatoire éventuellement dilué et inhomogène, où la probabilité de présence de chaque arête dépend des étiquettes de ses sommets. Le taux d'excitation de chaque neurone dépend du passé des neurones connectés : il augmente en cas d'excitation par d'autres neurones, ou diminue en cas d'inhibition. La motivation principale est d'étudier le comportement du système dynamique lorsque la taille de la population tend vers l'infini, lorsque le graphe d'interaction est fixé. Une question importante est de comprendre comment l'inhomogénéité spatiale (dans l'interaction) influence le comportement en temps long du système. Une autre question consiste à relier le modèle microscopique à la Neural Field Equation (NFE), qui modélise une dynamique neuronale à grande échelle avec des interactions non locales. Après une introduction en français et une autre introduction plus détaillée en anglais, ce document contient trois chapitres. Le chapitre 3 introduit notre modèle principal, et décrit sa limite en grande population par des processus ponctuels de Poisson inhomogènes. Nous prouvons un résultat de propagation du chaos, valable sur des intervalles de temps finis. Nous nous concentrons aussi sur le comportement en temps long de la limite en grande population dans le cas linéaire. Les chapitres suivants explorent des cas où il est possible d'étudier le comportement en temps long du système microscopique, plus précisément jusqu'à des temps polynomiaux en la taille de la population. Dans le chapitre 4, la dynamique de la limite en grande population est attirée par une solution stationnaire unique de la NFE. Nous prouvons la stabilité en temps long de la dynamique du système microscopique autour de cette solution. Dans le chapitre 5, la NFE admet un ensemble de solutions stationnaires stables qui forment une variété. Nous montrons la proximité en temps long entre le système microscopique et cette variété. En particulier, nous prouvons que sur une échelle de temps de l'ordre de la taille de la population, la dynamique du système peut être décrite par un mouvement brownien sur la variété des solutions stationnaires.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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