Reachability problems for general rotor walks in graphs
Problèmes d'accessibilité des marches de rotors générales dans les graphes
Résumé
In this thesis, we focus on the algorithmic properties of a cellular automaton known as rotor walks. This model has been introduced in two distinct ways. Firstly, as a fundamental operation within another cellular automaton known as Sandpiles, which models the collapse of a sand pile when it becomes too high. Secondly, due to its resemblance to well-studied stochastic models, such as random walks. Indeed, numerous structural properties of random walks (hitting times, cover times, etc.) are analogous to those of this completely deterministic automaton called the rotor walk. The main motivation for this thesis stems from this "derandomization" of a random process. More precisely, a rotor walk corresponds to the movement of a particle on a directed graph following the following rule: initially, an order (a numbering) is fixed on the outgoing arcs of each vertex of the graph. Once the starting position of the particle is defined, each time it is on a vertex, it leaves through the arc with the lowest value that it has not already used. Of course, if all arcs have been used, the process restarts with the lowest value arc. There is a multitude of accessibility problems on rotors, and we aim to compile a list of them in this thesis. We also provide complexity results for some of these problems. Subsequently, we turn our attention to a specific accessibility problem: ARRIVAL. Considering a graph with sinks such that there is a directed path between each vertex of the graph and at least one of these sinks, a rotor walk inevitably terminates. Unfortunately, the number of steps before this process concludes can be exponential. In 2017, Dorhau et al. introduced a problem called ARRIVAL, which seeks to determine if the particle successfully reaches a given sink. They demonstrated that it belongs to the complexity classes NP and co-NP. Being a strong candidate for polynomial algorithm resolution, we investigate this problem on a subclass of graphs where the step count of the process can be exponential: Tree-like multigraphs. These are multigraphs whose underlying undirected graph is a tree. In this context, we show that this problem can be solved in linear time, extending these results to decision versions of the ARRIVAL problem, known to be respectively NP-complete and PSPACE-complete.
Nous nous intéressons dans cette thèse aux propriétés algorithmiques d'un automate cellulaire, les marches de rotors. Ce modèle a été introduit de deux manières différentes. Tout d'abord comme une opération élémentaire d'un autre automate cellulaire : les Sandpiles qui modélisent l'effondrement d'une pile de sable lorsque celle-ci devient trop haute. Mais également, par sa ressemblance avec des modèles stochastiques très étudiés que sont les marches aléatoires. En effet, de nombreuses propriétés structurelles des marches aléatoires (temps d'atteinte, temps de couverture, etc...) sont similaires à celles de cet automate complètement déterministe qu'est la marche de rotor. Cette forme de "dérandomisation" de processus aléatoire a été la motivation principale de cette thèse. Plus précisément, une marche de rotor correspond au mouvement d'une particule sur un graphe orienté en suivant la règle suivante : au départ on fixe un ordre (une numérotation) sur les arcs sortants de chacun des sommets du graphe puis, une fois qu'on a définit la position de départ de la particule, chaque fois que cette dernière est sur un sommet, elle le quitte par l'arc de valeur la plus faible qu'elle n'a pas déjà utilisé. Bien entendu, si tous les arcs ont été utilisés, on redémarre avec l'arc de plus faible valeur. Il existe une multitude de problèmes d'accessibilité sur les rotors dont nous nous appliquons à faire une liste dans cette thèse. Nous donnerons également des résultats de complexité pour certains d'entre eux. Puis nous nous intéresserons à un problème d'accessibilité particulier : ARRIVAL. Si l'on considère un graphe avec des puits tel qu'il existe un chemin orienté entre chaque sommet du graphe et au moins l'un de ces puits, une marche de rotor se termine forcément. Hélas, le nombre d'étapes avant que ce processus ne termine peut être exponentiel. En 2017, Dorhau et al. ont présenté un problème, nommé ARRIVAL, qui est de savoir si la particule finit bien sa course dans un puits donné. Ils ont montré qu'il appartenait aux classes de complexité NP et co-NP. Etant donc un bon candidat à être résolu par un algorithme polynomial, nous nous intéressons à ce problème sur une sous-classe de graphe pour laquelle le nombre d'étapes du processus peut être exponentiel : les Tree-like multigraphes. Il s'agit de multigraphes donc le graphe non-orienté sous-jacent est un arbre. Dans ce contexte, nous avons pu montrer que ce problème pouvait être résolu en temps linéaire et même étendre ces résultats à des versions décisionnelles du problème ARRIVAL connues pour être respectivement NP-complète et PSPACE-complète.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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