Adaptative observers for wave equations and associated discretizations : formulations and analysis.
Observateurs adaptatifs pour l'équation des ondes et discrétisations associées : formulations et analyse.
Résumé
The context of this thesis is the study of inverse problems for wave propagation phenomena from a control theory perspective, more specifically using observation theory. Our goal is to formalize, analyze, and discretize strategies called sequential in data assimilation, where measurements are taken into account as they become available. The resulting system, called an observer (or a sequential estimator), stabilizes on the observed trajectory hence reconstructs the state and possibly some unknown parameters of the system. Here we focus in particular on source reconstruction on the right-hand side of our wave equation, an estimation problem intermediate in complexity between state estimation (or initial condition estimation) and the more general problem of parameter identification. In this context, we propose to define in a deterministic framework in infinite dimension a so-called Kalman estimator that sequentially estimates the source term to be identified. Using dynamic programming tools, we show that this sequential estimator is equivalent to the minimization of a functional. This equivalence allows us to propose convergence analysis under observability conditions. We then demonstrate observability inequalities for different source types by combining functional analysis, multiplier methods, and Carleman estimates. In particular, these inequalities inform us about the ill-poseness nature of the inverse reconstruction problems we study and allow us to quantify the degree of ill-posedness hence to propose adapted regularizations. In particular, we compare an invert-and-regularize strategies as opposed to regularize-to-invert. Concerning discretization issues and their analysis, we defend the idea of redefining these observers associated with the minimization of the functional once the direct model has been discretized. This discretize-then-optimize approach is advantageous for the analysis compared to optimize-then-discretize approach. Nevertheless, the observability inequalities need to be extended to discretized systems. In particular, in this context, we extend uniform exponential stabilization results to the discretization for high-order finite element discretizations of the wave equation.
Le contexte de cette thèse est l'étude de problèmes inverses pour les phénomènes de propagation d'onde sous l'angle de la théorie du contrôle, plus précisément la théorie de l'observation. Notre objectif est de formaliser, d'analyser et de discrétiser des stratégies appelées séquentielles en assimilation de données, où les observations sont prises en compte à mesure qu'elles sont disponibles. Le système résultant appelé observateur (ou estimateur séquentiel) se stabilise sur la trajectoire observée reconstruisant alors l'état et éventuellement des paramètres inconnus du système. Ici nous nous concentrons plus particulièrement sur la reconstruction de source au second membre d'une équation des ondes, un problème d'estimation qui peut apparaître comme intermédiaire en compléxité entre l'estimation d'état (ou de condition initiale) et l'identification de paramètres généraux. Dans ce cadre, nous proposons de définir dans un formalisme déterministe en dimension infinie, un estimateur dit de Kalman qui estime séquentiellement le terme source à identifier. Par les outils de programmation dynamique, nous montrons que cet estimateur séquentiel est équivalent à la minimisation d'une fonctionnelle, cette équivalence nous permettant d'en proposer l'analyse de convergence sous condition d'observabilité. Nous démontrons alors des inégalités d'observabilité pour différents types de source en combinant analyse fonctionnelle, méthodes des multiplicateurs et estimations de Carleman. Ces inégalités nous informent notamment sur le caractère éventuellement mal-posé des problèmes inverses de reconstruction que nous étudions et nous permettent d'en quantifier le degré et ainsi d'adapter les régularisation proposées. Nous comparons notamment des stratégies inverser-et-régulariser par opposition à regulariser-pour-inverser. Concernant les questions de discrétisation et leur analyse numérique, nous défendons l'idée de redéfinir ces observateurs associés à la minimisation de la fonctionnelle une fois que le modèle direct a été discrétisé. Cette approche discrétiser-puis-optimiser est avantageuse pour l'analyse par rapport à optimiser-puis-discrétiser. Il n'en reste pas moins que les inégalités d'observabilité doivent être étendues aux systèmes discrets. À ce propos, nous étendons en particulier des résultats de stabilisation exponentielle uniforme en la discrétisation pour des discrétisations par éléments finis de haut degré de l'équation des ondes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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