Properties of geodesics in first-passage percolation
Étude des propriétés des géodésiques en percolation de premier passage
Résumé
The thesis focuses on geodesics in first-passage percolation. We consider the graph Z^d and a family of nonnegative, independent, and identically distributed random variables indexed by the set of edges, called passage times. The time of a finite path is defined as the sum of the passage times of each of its edges. Geodesics are then the paths with minimal time. We are interested in the following question. Consider a local property of the time environment. We call it a pattern. How many times does a geodesic cross a translate of this pattern?
Without assuming any moment assumption on the distribution of passage times and with possibly infinite passage times, it is shown that, apart from an event with exponentially small probability in the distance between the geodesic endpoints, the number of translates of the pattern crossed by the geodesics is linear in the distance between the endpoints. Some applications of this result are also provided.
La thèse porte sur les géodésiques en percolation de premier passage. On se place sur le graphe Z^d et on considère une famille de variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées indexées par l’ensemble des arêtes, appelées temps de passage. On définit le temps de tout chemin fini comme la somme du temps de passage de chacune de ses arêtes. Les géodésiques sont alors les chemins de temps minimaux. On s’intéresse à la question suivante. Considérons une propriété locale de l’environnement des temps de passage. On appelle cela un motif. Combien de fois une géodésique emprunte un translaté de ce motif?
Sans hypothèse de moment sur la loi des temps de passage, et en autorisant un atome en l’infini, on montre que pour un motif donné, en dehors d’un événement de probabilité exponentiellement faible en la distance entre les extrémités des géodésiques, le nombre de translatés de ce motif empruntés par les géodésiques est linéaire en la distance entre les extrémités. On donne également quelques applications de ce résultat.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|