Some minimiztion problems related to the Schrödinger equations
Quelques problèmes de minimisation en relation avec les équations de Schrödinger
Résumé
In this thesis we study several minimization problems arising in the theory of partial differential equations. We consider Strichartz estimates associated to the Schrödinger equation involving fractional powers of the Laplacian in the Euclidean space. Using a general profile decomposition theorem, we prove the existence of optimal functions for these inequalities for the whole range of parameters. In the second part of the thesis we consider periodic nonlinear Schrödinger equations in the plane with non-zero conditions at infinity. We work with general nonlinearities, including the model case of the Gross-Pitaevskii equation. The equation is Hamiltonian, the conserved quantities are the energy and the momentum. We give a rigorous mathematical definition of the momentum, then for any possible value dollar p dolla of the momentum we prove the existence of traveling waves that minimize the energy when the momentum is equal to dollar p dollar. We show that for each dollar p dollar there exists a critical length of the period dollar lambda ( p ) dollar such that all minimizers with period smaller than dollar lambda ( p ) dollar must be one-dimensional, while minimizers with period greater than dollar lambda ( p ) dollar are truly two-dimensional. We also investigate the corresponding one-dimensional problem and we find all finite-energy traveling waves. Minimizers are always traveling waves, and in some cases they constitute the whole set of traveling-waves (this occurs, for instance, in the case of Gross-Pitaevskii nonlinearity). We construct examples of smooth nonlinearities for which the equation admits traveling waves that are not minimizers.
Dans cette thèse, on étudie quelques problèmes de minimisation issus de la théorie des équations aux dérivées partielles. On considère les estimations de Strichartz associées à l'équation de Schrödinger avec des puissances fractionnaires du Laplacien dans l'espace euclidien. On montre l'existence des fonctions optimales pour ces inégalités pour toutes les valeurs possibles des paramètres. La preuve utilise un théorème général de décomposition de profils. Dans la deuxième partie de la thèse, on considère des équations de Schrödinger non linéaires avec des conditions non nulles à l'infini dans l'espace euclidien bidimensionnel. On travaille avec des non-linéarités générales. Tous nos résultats sont valables dans le cas modèle de l'équation de Gross-Pitaevskii. Les équations étudiées sont hamiltoniennes, les quantités conservées sont l'énergie et le moment. On donne d'abord une définition mathématique rigoureuse du moment. On montre ensuite que pour toute valeur possible dollar p dollar du moment il existe des fonctions qui minimisent l'énergie lorsque la valeur du moment est fixée et est égale à dollar p dollar. Ces fonctions sont lisses et sont des ondes progressives de l'équation. Leurs vitesses sont les multiplicateurs de Lagrange associés au problème de minimisation. On montre que pour chaque dollar p dollar il existe une valeur critique de la période dollar lambda ( p ) dollar telle que tous les minimiseurs avec une période inférieure à dollar lambda ( p ) dollar doivent être unidimensionnels, et que les minimiseurs avec des périodes supérieures à dollar lambda ( p ) dollar dépendent effectivement des deux variables spatiales. On étudie également le problème unidimensionnel correspondant et on trouve toutes les ondes progressives d'énergie finie. Dans certains cas (comme, par exemple, dans le cas de l'équation de Gross-Pitaevskii), les minimisateurs de l'énergie à moment constant constituent l'ensemble des ondes progressives. On construit des exemples de non-linéarités lisses pour lesquelles l'équation admet des ondes progressives qui ne sont pas des minimisateurs.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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